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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:40 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Endorphin |
| Aufgabe | Im Boden eines mit Wasser gefüllten zylindrischen Gefäßes (Durchmesser D) befindet sich eine runde Öffnung mit einem Durchmesser d. Das Wasser wird als reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeit angenommen.
a) Geben Sie die Beziehung für die Geschwindigkeit v an, mit der das Wasser durch die Öffnung strömt. Verwenden Sie in diesem Aufgabenteil nicht die Näherung d ≪ D, sondern leiten Sie die allgemein gültige Beziehung her! |
Kann mal jemand schauen ob meine Berechnung für diese Aufgabe korrekt ist?
Bin mir da etwas unsicher.
Da das gleiche Volumen, welches durch die Bodenöffnung abfließt, oben im Tank fehlt und dieses Volumen seine potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt hat, gilt:
[mm] $\Delta W_{pot}\,=\,W_{kin}\quad\gdw\quad\Delta m\,g\,h\,=\,\bruch{1}{2}\,\Delta m\,v_{1}^{2}\quad\gdw\quad v_{1}\,=\,\wurzel{2\,g\,h}$ \quad [/mm] wobei [mm] $v_1$ [/mm] die Abflussgeschwindigkeit an der Bodenöffnung darstellt.
Aufgrund der Kontinuitätsgleichung gilt außerdem:
[mm] $v_1\,A_1\,=\,v_2\,A_2\quad\gdw\quad v_2\,=\,\wurzel{2\,g\,h}\,\bruch{\pi\,r^{2}}{\pi\,R^{2}}\,=\,\wurzel{2\,g\,h}\left(\bruch{d}{D}\right)^{2}$ \quad [/mm] mit [mm] v_2 [/mm] als Geschwindigkeit des sinkenden Flüssigkeitsspiegels.
Wenn ich die Geschwindigkeiten jetzt mit der Bernoulli'schen Gleichung in Beziehung setze, sollte ich doch die Abflußgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Durchmesser erhalten:
[mm] $\begin{matrix}
\ & \bruch{1}{2}\,\varrho\,v_{1}^{2}\,+\,\varrho\,g\,y_{1} &=& \bruch{1}{2}\,\varrho\,v_{2}^{2}\,+\,\varrho\,g\,y_{2} \\
\\
\gdw & \bruch{1}{2}\,v_{1}^{2} & = & \bruch{1}{2}\,v_{2}^{2}\,+\,g\,(y_2-y_1) \\
\\
\gdw & v_{1} & = & \,\wurzel{v_{2}^{2}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{\left(\wurzel{2\,g\,h}\left(\bruch{d}{D}\right)^{2}\right)^{2}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{2\,g\,h\left(\bruch{d}{D}\right)^{4}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{2\,g\,h\,\left(1\,+\,\left(\bruch{d}{D}\right)^{4}\right)}
\end{matrix}$
[/mm]
Für d ≪ D geht der Bruch gegen 0 und bildet dann denn Spezialfall nach Torricelli [mm] $v\,=\,\wurzel{2\,g\,h}.
[/mm]
Allerdings habe ich [mm] $v_1$ [/mm] vorher schon durch eine andere Gleichung beschrieben. Darf ich so basteln? o.O
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 So 19.01.2014 | | Autor: | Calli |
> Bin mir da etwas unsicher.
>
> Da das gleiche Volumen, welches durch die Bodenöffnung
> abfließt, oben im Tank fehlt und dieses Volumen seine
> potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt hat,
> gilt:
>
> [mm]\Delta W_{pot}\,=\,W_{kin}\quad\gdw\quad\Delta m\,g\,h\,=\,\bruch{1}{2}\,\Delta m\,v_{1}^{2}\quad\gdw\quad v_{1}\,=\,\wurzel{2\,g\,h}[/mm]
> [mm]\quad[/mm] wobei [mm]v_1[/mm] die Abflussgeschwindigkeit an der
> Bodenöffnung darstellt.
[mm] v_1 [/mm] ist nicht die Geschwindigkeit an der Bodenöffnung sondern die Absenkgeschw. des Wasserspiegels.
Die Änderung der potenziellen Energie bzw. der Zuwachs an kinetischer Energie betrifft in der oben angeführten Form die gesamte Wassermenge im Behälter.
Damit sind die weiteren Betrachtungen und das Ergebnis leider falsch.
> [mm]$\begin{matrix}
> \ & \bruch{1}{2}\,\varrho\,v_{1}^{2}\,+\,\varrho\,g\,y_{1} &=& \bruch{1}{2}\,\varrho\,v_{2}^{2}\,+\,\varrho\,g\,y_{2} \\
\\
\gdw & \bruch{1}{2}\,v_{1}^{2} & = & \bruch{1}{2}\,v_{2}^{2}\,+\,g\,(y_2-y_1) \\
\\
\gdw & v_{1} & = & \,\wurzel{v_{2}^{2}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{\left(\wurzel{2\,g\,h}\left(\bruch{d}{D}\right)^{2}\right)^{2}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{2\,g\,h\left(\bruch{d}{D}\right)^{4}\,+\,2\,g\,h}
& = & \wurzel{2\,g\,h\,\left(1\,+\,\left(\bruch{d}{D}\right)^{4}\right)}
\end{matrix}$[/mm]![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 20.01.2014 | | Autor: | Endorphin |
Ja. Stimmt. Fällt mir jetzt auch auf...
Aber die Aufgabe wurde auch gestrichen weil hinterher aufgefallen ist dass wir die mit unserem Kenntnisstand noch garnicht lösen können (DGL und Co.KG)
Herrlich wie man seine Zeit verschwenden kann...
Danke dir trotzdem für deine Zeit.
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