Fluss I der Stromdichte j < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute!
Ich habe mal wieder ein kleines Problemchen. Ich habe ein Magnetfeld gegeben was durch [mm]\vec{B} = \beta (z,x,y)[/mm] gegeben ist.
Nun muss ich den Fluss [mm]I[/mm] der Stromdichte [mm]\vec{j} = \vec{\nabla} X \vec{B}[/mm] durch eine Fläche S bestimmen und zwar auf folgende Arten:
1.) Direkt als Flächenintegral und
2.) mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes
Dabei ist S als kreisförmiges Stück einer Sattelfläche [mm]\vec{r}(u,v) = (u,v,u^2 - v^2) [/mm] mit [mm] u^2 + v^2 \le R^2 [/mm] gegeben.
Zu 1.)
Hier würde ich über den Zusammenhang:
[mm]\iint_{S}^{} \vec{j} d\vec{S} = I[/mm] vorgehen.
Jedoch weiß ich nicht wie ich parametrisieren soll. Ich könnte mir vorstellen, weil das Flächenelement [mm]d\vec{S}[/mm] ja ein infinitesimal kleines Stück der Sattelfläche ist (dadurch ebenes Flächenstk.), dass man dort Polarkoordinaten verwenden könnte. Aber wie soll man dann die Stromdichte integrieren???
Und wenn man sagt das die Vektoren Stromdichte und Flächenelement parallel zueinander sind würde sich das Integral dann ja auflösen und man hat:
[mm] I = j \cdot S[/mm] Aber dann weiß ich nicht wie groß die Fläche (nen ebener Kreis kann es ja nicht sein, weil das ja nen gekrümmter Kreisausschnitt ist) und ich weiß dann auch nicht so wirklich in welche Richtung nun [mm]\vec{j}[/mm] zeigt.
Habt ihr dort ein Rat für mich??
Zu 2.)
Da habe ich im Endeffekt wieder das gleiche Problem das ich nicht weiß wie ich das Flächenelement vom Flächenintegral wählen kann bzw. wie ich das Integral über den Rand richtig auflöse.
Irgendwie bereitet mir die Sattelfläche Probleme und wie ich die Stromdichte integrieren soll.
Ich danke euch schonmal für die Antworten!!
Lg Matze die Katze
P.S.: Danke das ihr immer so hilfsbereit seid, ohne eure Hilfe wäre ich manchmal ganz schön aufgeschmissen.
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> Hi Leute!
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> Ich habe mal wieder ein kleines Problemchen. Ich habe ein
> Magnetfeld gegeben was durch [mm]\vec{B} = \beta (z,x,y)[/mm]
> gegeben ist.
Da fehlt noch eine Richtung des B-Feldes...
> Nun muss ich den Fluss [mm]I[/mm] der Stromdichte [mm]\vec{j} = \vec{\nabla} X \vec{B}[/mm]
> durch eine Fläche S bestimmen und zwar auf folgende Arten:
>
> 1.) Direkt als Flächenintegral und
>
> 2.) mit Hilfe des Stokesschen Integralsatzes
>
> Dabei ist S als kreisförmiges Stück einer Sattelfläche
> [mm]\vec{r}(u,v) = (u,v,u^2 - v^2)[/mm] mit [mm]u^2 + v^2 \le R^2[/mm]
> gegeben.
>
> Zu 1.)
>
> Hier würde ich über den Zusammenhang:
>
> [mm]\iint_{S}^{} \vec{j} d\vec{S} = I[/mm] vorgehen.
>
> Jedoch weiß ich nicht wie ich parametrisieren soll. Ich
> könnte mir vorstellen, weil das Flächenelement [mm]d\vec{S}[/mm] ja
> ein infinitesimal kleines Stück der Sattelfläche ist
> (dadurch ebenes Flächenstk.), dass man dort
> Polarkoordinaten verwenden könnte. Aber wie soll man dann
> die Stromdichte integrieren???
>
> Und wenn man sagt das die Vektoren Stromdichte und
> Flächenelement parallel zueinander sind würde sich das
> Integral dann ja auflösen und man hat:
>
> [mm]I = j \cdot S[/mm] Aber dann weiß ich nicht wie groß die Fläche
> (nen ebener Kreis kann es ja nicht sein, weil das ja nen
> gekrümmter Kreisausschnitt ist) und ich weiß dann auch
> nicht so wirklich in welche Richtung nun [mm]\vec{j}[/mm] zeigt.
>
>
> Habt ihr dort ein Rat für mich??
>
Ich würde den Standardansatz zur Flächenparametrisierung nehmen:
[m]d\vec{S} = \frac{r_u \times r_v}{||r_u \times r_v||}[/m]
Dann kannst du deine Flächenfunktion in die Stromdichte einsetzen um das ganze Integral zu erhalten. Danach brauchst du vermutlich noch eine Koordinatentransformation zu Polarkoordinaten.
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> Zu 2.)
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> Da habe ich im Endeffekt wieder das gleiche Problem das ich
> nicht weiß wie ich das Flächenelement vom Flächenintegral
> wählen kann bzw. wie ich das Integral über den Rand richtig
> auflöse.
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> Irgendwie bereitet mir die Sattelfläche Probleme und wie
> ich die Stromdichte integrieren soll.
>
Zuerst muss du dir mal überlegen, wie du den Rand der Fläche parametrisierst. Dazu empfehlen sich auch wieder Polarkoordinatern, wobei diesmal r=R (nur äußerer Rand der Fläche) ist. Damit solltest du dann das Linienintegral aufstellen können.
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> Ich danke euch schonmal für die Antworten!!
Schau dir mal auf Wikipedia die Artikel zu Oberflächen- und Linenintegral an, da ist das eigentlich sehr gut erklärt.
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> Lg Matze die Katze
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> P.S.: Danke das ihr immer so hilfsbereit seid, ohne eure
> Hilfe wäre ich manchmal ganz schön aufgeschmissen.
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