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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Do 29.12.2011 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | Sei $F(x,y,z)=(xy,yz,xz)$ und [mm] M=\{(x,y,z)\in S_3: y,z>0\}. [/mm]
Berechnen Sie den Fluss von F durch M. |
Hallo,
wie mache ich das am besten?
Ich habe eine Parametrisierung für M (Polarkoordinaten):
[mm] \Phi:(0,\pi)\times\left(0,\frac{\pi}{2}\right), (\phi, \theta)\mapsto(\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta,\sin\theta)
[/mm]
und könnte nun bis auf Vorzeichen eine äußere Normale [mm] \mu [/mm] bekommen durch [mm] \frac{D_1\Phi\times D_2\Phi}{\parallel D_1\Phi\times D_2\Phi\parallel}.
[/mm]
Dann müsste der Fluss durch M gegeben sein durch [mm] $\int_M [/mm] <F(x), [mm] \mu(x)>dx$.
[/mm]
Ich habe das jetzt so angefangen zu rechnen und es einfach scheußlich... Gibt es einen anderen Weg?
Gruß& Danke für Hilfe,
mili
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Hallo mili03,
> Sei [mm]F(x,y,z)=(xy,yz,xz)[/mm] und [mm]M=\{(x,y,z)\in S_3: y,z>0\}.[/mm]
>
> Berechnen Sie den Fluss von F durch M.
> Hallo,
>
> wie mache ich das am besten?
>
> Ich habe eine Parametrisierung für M (Polarkoordinaten):
>
> [mm]\Phi:(0,\pi)\times\left(0,\frac{\pi}{2}\right), (\phi, \theta)\mapsto(\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta,\sin\theta)[/mm]
>
> und könnte nun bis auf Vorzeichen eine äußere Normale
> [mm]\mu[/mm] bekommen durch [mm]\frac{D_1\Phi\times D_2\Phi}{\parallel D_1\Phi\times D_2\Phi\parallel}.[/mm]
>
> Dann müsste der Fluss durch M gegeben sein durch [mm]\int_M dx[/mm].
>
> Ich habe das jetzt so angefangen zu rechnen und es einfach
> scheußlich... Gibt es einen anderen Weg?
>
Poste zunächst Deine bisherigen Rechenschritte.
> Gruß& Danke für Hilfe,
> mili
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Fr 30.12.2011 | | Autor: | mili03 |
M ist gegeben durch die Parametrisierung
[mm] \Phi:(0,\pi)\times\left(0,\frac{\pi}{2}\right), (\phi, \theta)\mapsto(\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta,\sin\theta).
[/mm]
Eine Normale zu $M$ ist
[mm] \overline{\mu}(\phi, \theta)=D_1\Phi(\phi,\theta)\times D_2\Phi(\phi,\theta)\\
[/mm]
[mm] =\pmat{-\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi\cos\theta \\ 0}\times\pmat{-\cos\phi\sin\theta \\-\sin\phi\sin\theta \\ \cos\theta}=\pmat{\cos^2\theta\cos\phi \\ \cos^2\theta\sin\phi \\ \cos\theta\sin\theta}
[/mm]
Diese Normale zeigt bereits nach außen. Durch die Normierung [mm] $\mu(\phi,\theta)=\frac{1}{\cos\theta}\overline{\mu}(\phi,\theta)$ [/mm] erhält man eine äußere Normale.
Jetzt müsste ich das Integral [mm] \int_{\partial M} [/mm] <F, [mm] \mu> d\sigma(x) [/mm] ausrechnen. Das ist aber scheußlich, mache ich noch einen Fehler?
gruß
mili
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Hallo mili03,
> M ist gegeben durch die Parametrisierung
> [mm]\Phi:(0,\pi)\times\left(0,\frac{\pi}{2}\right), (\phi, \theta)\mapsto(\cos\phi\cos\theta, \sin\phi\cos\theta,\sin\theta).[/mm]
>
> Eine Normale zu [mm]M[/mm] ist
> [mm]\overline{\mu}(\phi, \theta)=D_1\Phi(\phi,\theta)\times D_2\Phi(\phi,\theta)\\[/mm]
>
> [mm]=\pmat{-\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi\cos\theta \\ 0}\times\pmat{-\cos\phi\sin\theta \\-\sin\phi\sin\theta \\ \cos\theta}=\pmat{\cos^2\theta\cos\phi \\ \cos^2\theta\sin\phi \\ \cos\theta\sin\theta}[/mm]
>
> Diese Normale zeigt bereits nach außen. Durch die
> Normierung
> [mm]\mu(\phi,\theta)=\frac{1}{\cos\theta}\overline{\mu}(\phi,\theta)[/mm]
> erhält man eine äußere Normale.
>
> Jetzt müsste ich das Integral [mm]\int_{\partial M}[/mm] <F, [mm]\mu> d\sigma(x)[/mm]
> ausrechnen. Das ist aber scheußlich, mache ich noch einen
> Fehler?
>
Nein, Fehler machst Du keinen.
> gruß
> mili
Gruss
MathePower
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