Fluss, durch ein Objekt < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Di 07.08.2007 | | Autor: | ff1985 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe ein Frage zur Aufgabe b).
Wie bestimme ich die Integralgrenzen für dt, ds, und dr aus der Parametrisierung T(r,s,t)?
[Dateianhang nicht öffentlich]
danke im Voraus, für eure Antworten
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> Ich habe ein Frage zur Aufgabe b).
> Wie bestimme ich die Integralgrenzen für dt, ds, und dr aus
> der Parametrisierung T(r,s,t)?
Ich bin der Ansicht, dass schon die Vektoren [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{w}[/mm] falsch sind. Denn [mm]\vec{v}[/mm] liegt in einer zur [mm]x[/mm]-Achse senkrechten Ebene und kann daher keine [mm]x[/mm]-Komponente [mm]\neq 0[/mm] haben. Analog: [mm] $\vec{w}$ [/mm] liegt in einer zur $z$-Achse senkrechten Ebene (der $xy$-Ebene), also kann dieser Vektor keine dritte Komponente [mm] $\neq [/mm] 0$ haben.
Zur Wahl des Integrationsbereichs für $r,s,t$. Deine Parametrisierung ergibt (sofern Du die Vektoren richtigstellst) einen Punkt (bzw. den Ortsvektor eines Punktes) im fraglichen Tetraeder, falls [mm] $r,s,t\geq [/mm] 0$ ist und [mm] $r+s+t\leq [/mm] 1$ gilt. Daraus ergeben sich meiner Meinung nach folgende Integrationsgrenzen:
[mm]\int_0^{\red{1}} \int_0^{1-r}\int_0^{1-r-s}\ldots \;dt\; ds\; dr[/mm]
Noch ein Problem: Dein Volumenelement wird durch diese Parametrisierung verzerrt. Du kannst nicht davon ausgehen, dass das Volumenelement [mm] $dt\; ds\; [/mm] dt$ mit dem Volumenelement [mm] $dx\; dy\; [/mm] dz$ identisch ist. Das heisst: Du musst noch die Determinante dieser Transformation dazugeben...
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Di 07.08.2007 | | Autor: | ff1985 |
Hi,
danke für deine schnelle Antwort.
Stimmt, die Vektoren waren falsch.
nach meinen neuen Berechnungen sollten sie:
$ [mm] \vec{u}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} \vec{v}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \vec{w}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ sein
und somit: $ [mm] T(r,s,t)=\vektor{1-r-t \\ s+t \\ r+s} [/mm] $
wie kommst du jedoch auf die Grenzen: $ [mm] \int_0^r\int_0^{1-r}\int_0^{1-r-s}\ldots \;dt\; ds\; [/mm] dr $ ?
Besonders, dass das erste Integral von [0,r] laufen soll, sieht mir fragwürdig aus. Sollte es nicht [0,1] sein? (Tippfehler?)
(Wie) kann man die Integralgrenzen systematisch aus $ [mm] T(r,s,t)=\vektor{1-r-t \\ s+t \\ r+s} [/mm] $ berechnen?
Was das Problem mit dem Volumen anbelangt, darüber habe ich auch schon nachgedacht. Ich hätte es mit einer Koordinatentransformation versucht (was vermutlich jedoch Probleme mit dem Vektrofeld gegeben hätte)
Aber dazu können wir ja noch später kommen. (Vielleicht fällt mir in der Zwischenzeit dazu noch was ein.)
Aber mal zur Angehensweise der Aufgabe, hättest du es auch auf diesem Weg versucht? Oder gibt es einen Trick?
Unser Prof. meinte, sie wäre in 15-20min zu lösen...
|
|
|
| |
|
> Hi,
> danke für deine schnelle Antwort.
> Stimmt, die Vektoren waren falsch.
> nach meinen neuen Berechnungen sollten sie:
> [mm]\vec{u}=\vektor{-1 \\ 0 \\ 1} \vec{v}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} \vec{w}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> sein
>
> und somit: [mm]T(r,s,t)=\vektor{1-r-t \\ s+t \\ r+s}[/mm]
>
>
>
> wie kommst du jedoch auf die Grenzen:
> [mm]\int_0^r\int_0^{1-r}\int_0^{1-r-s}\ldots \;dt\; ds\; dr[/mm] ?
> Besonders, dass das erste Integral von [0,r] laufen soll,
> sieht mir fragwürdig aus. Sollte es nicht [0,1] sein?
> (Tippfehler?)
Uh, oh, ja: Tippfehler. Es sollte
[mm]\int_0^1\int_0^{1-r}\int_0^{1-r-s}\ldots \;dt\; ds\; dr[/mm]
sein.
>
> (Wie) kann man die Integralgrenzen systematisch aus
> [mm]T(r,s,t)=\vektor{1-r-t \\ s+t \\ r+s}[/mm] berechnen?
Man kann sie nicht daraus, sondern aus den besagten Bedingungen [mm] $r,s,t\geq [/mm] 0$ und [mm] $r+s+t\leq [/mm] 1$ berechnen.
Wählt man als äusseres Integral [mm] $\int\ldots \;dr$, [/mm] so kann $r$ noch frei von $0$ bis $1$ variieren. Für das mittlere Integral ist dann $r$ bereits festgelegt. $s$ kann dann nur noch von $0$ bis $1-r$ variieren (andernfalls wäre die Bedingung [mm] $r+s+t\leq [/mm] 1$, zusammem mit [mm] $r,t\geq [/mm] 0$, verletzt). Und für das innere Integral sind $r$ und $s$ festgelegt, so dass $t$ nur noch von $0$ bis $1-r-s$ variieren kann, denn andernfalls wäre wieder die Bedingung [mm] $r+s+t\leq [/mm] 1$ (d.h. äquivalent umgeformt [mm] $t\leq [/mm] 1-r-s$) verletzt.
>
> Was das Problem mit dem Volumen anbelangt, darüber habe ich
> auch schon nachgedacht. Ich hätte es mit einer
> Koordinatentransformation versucht (was vermutlich jedoch
> Probleme mit dem Vektrofeld gegeben hätte)
> Aber dazu können wir ja noch später kommen. (Vielleicht
> fällt mir in der Zwischenzeit dazu noch was ein.)
>
> Aber mal zur Angehensweise der Aufgabe, hättest du es auch
> auf diesem Weg versucht? Oder gibt es einen Trick?
Ja, gut: wie Du gesehen hast, ist die Divergenz ja konstant. Du kannst also im Prinzip diese Divergenz einfach mit dem Volumen des Tetraeders multiplizieren. Kannst also in diesem Spezialfall die Integriererei gleich bleiben lassen.
|
|
|
|
