Flussberechnung über Divergenz < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den nach außen gerichteten Fluss des Vektorfeldes
[mm] \vec{V}=\vektor{x \\ y \\ z-y}
[/mm]
durch die geschlossene Fläche, die aus dem Mantel
z(x,y) = [mm] x^{2}+y^{2}
[/mm]
und dem dazugehörigen Deckel besteht. Der Definitionsbereich der Mantelfunktion ist ein Kreis mit dem Radius R=2 und dem Mittelpunkt (0/0). |
Die Aufgabe 1 hab ich nun über das Oberflächenintegral gelöst, und kam da auf einen Gesamtfluss von [mm] 8\pi.
[/mm]
Jetzt würde ich das ganze gerne über den Gaußschen Integralsatz prüfen, nur scheitere ich an der Grenzbestimmung des Dreifachintegrals.
Man derzeitiges Dreifachintegral sieht wie folgt aus:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{0}^{4}{ rdzdrd\phi}
[/mm]
Das kann aber nicht stimmen, denn damit würde ich einfach einen Zylinder integrieren, anstatt meiner Funktion.
Wie komme ich deshalb auf die Integralgrenzen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Mo 30.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Mal Dir doch ein Bild !
Deine Fläche wird in z - Richtung von unten begrenzt durch den Graphen der Funktion [mm] z_1(x,y)=x^2+y^2 [/mm] und von oben durch den Graphen von [mm] z_2(x,y)=4
[/mm]
FRED
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> Mal Dir doch ein Bild !
>
> Deine Fläche wird in z - Richtung von unten begrenzt durch
> den Graphen der Funktion [mm]z_1(x,y)=x^2+y^2[/mm] und von oben
> durch den Graphen von [mm]z_2(x,y)=4[/mm]
>
> FRED
Ja, das Bild war in der Aufgabe gegeben, aber erst eben ist mir das mit der unteren Grenze hoffentlich klargeworden...
Liege ich mit dem Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{r^{2}}^{4}{rdzdrd\phi}
[/mm]
richtig?
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Hallo Tobi-mathe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > Mal Dir doch ein Bild !
> >
> > Deine Fläche wird in z - Richtung von unten begrenzt durch
> > den Graphen der Funktion [mm]z_1(x,y)=x^2+y^2[/mm] und von oben
> > durch den Graphen von [mm]z_2(x,y)=4[/mm]
> >
> > FRED
>
> Ja, das Bild war in der Aufgabe gegeben, aber erst eben ist
> mir das mit der unteren Grenze hoffentlich klargeworden...
>
> Liege ich mit dem Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{r^{2}}^{4}{rdzdrd\phi}[/mm]
>
> richtig?
Ja, die Grenzenen sind richtig.
Nach meiner Berechnung ist die Divergenz des Vektorfeldes 3.
Das Integral muß demnach lauten:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}\integral_{r^{2}}^{4}{\red{3}rdzdrd\phi}[/mm]
Bei der Auswertung dieses Integrals kommt etwas anderes heraus,
als Du im allerersten Post geschrieben hast. Das kann meines
Erachtens nur so erklärt werden, daß die Berechnung des Flusses
durch den Deckel der Fläche vergessen wurde.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Tobi-mathe |
Ja, ich komme über den Gaußschen Integralsatz auf [mm] 24\pi.
[/mm]
Dann muss was beim Oberflächenintegral falschgelaufen sein.
Die Berechnung über das Oberflächenintegral hab ich so gemacht:
Die Mantelfunktion [mm] z(x,y)=x^{2}+y^{2} [/mm] in die Parameterform gebracht, also
[mm] \overrightarrow{s}({u,v})=\vektor{u \\ v\\u^{2}+v^{2}}.
[/mm]
Dann hab ich nach u und v differenziert und den Normalenverktor gebildet.
[mm] \overrightarrow{s_u}=\vektor{1 \\ 0\\2u} \overrightarrow{s_v}=\vektor{0 \\ 1\\2v}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{n}=\overrightarrow{s_v}\times\overrightarrow{s_u}=\vektor{1 \\ 0\\2u}\times\vektor{0 \\ 1\\2v}=\vektor{-2u\\-2v\\1}
[/mm]
Und danach erstmal allgemein ins folgende Integral eingesetzt:
[mm] \phi_M [/mm] = [mm] \integral_{(M)}^{ }{\overrightarrow{V}(\overrightarrow{s}({u,v}))}\*\overrightarrow{n}dA [/mm] = [mm] \integral_{(M)}^{ }\vektor{u\\v\\u^{2}+v^{2}-v}\vektor{-2u\\-2v\\1}dA [/mm] = [mm] \integral_{(M)}^{ }{-u^2-v^2-v}dA [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi }\integral_{0}^{2}({-{r^2cos^2\phi}-{r^2sin^2\phi}-{rsin\phi}})rdrd\phi
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi }\integral_{0}^{2}({-r^3-{r^2sin\phi}})drd\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi }[\bruch{-r^4}{4}-\bruch{r^3}{3}sin\phi]^2_0d\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi }(-4-\bruch{8}{3}sin\phi)d\phi [/mm] = [mm] [-4\phi+\bruch{8}{3}cos\phi]^{2\pi}_0 [/mm] = [mm] -8\pi
[/mm]
Dann fehlt noch der Fluss durch den Deckel:
[mm] \overrightarrow{n}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
in der Höhe von z=4. Dort ist die Bedingung des Radius r=2 erfüllt.
[mm] \phi_D [/mm] = [mm] \integral_{(D)}^{}{\vektor{x\\y\\4-y}\*\vektor{0\\0\\1}}dA [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{(4-rsin\phi)}rdrd\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{(4r-r^2sin\phi)}drd\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{[2r^2-\bruch{r^3}{3}sin\phi}]^2_0d\phi [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{(8-\bruch{8}{3}sin\phi})d\phi =[{8\phi+\bruch{8}{3}cos\phi}]^{2\pi}_0 [/mm] = [mm] 16\pi
[/mm]
Addiert man das gnaze zum Gesamtfluss, komme ich da auf:
[mm] \phi_ges [/mm] = [mm] \phi_M [/mm] + [mm] \phi_D [/mm] = [mm] 8\pi
[/mm]
Eigentlich müssten [mm] 24\pi [/mm] rauskommen, aber meinen Fehler finde ich nicht :/
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Hallo Tobi-mathe,
> Ja, ich komme über den Gaußschen Integralsatz auf [mm]24\pi.[/mm]
>
> Dann muss was beim Oberflächenintegral falschgelaufen
> sein.
>
> Die Berechnung über das Oberflächenintegral hab ich so
> gemacht:
>
> Die Mantelfunktion [mm]z(x,y)=x^{2}+y^{2}[/mm] in die Parameterform
> gebracht, also
>
> [mm]\overrightarrow{s}({u,v})=\vektor{u \\ v\\u^{2}+v^{2}}.[/mm]
>
> Dann hab ich nach u und v differenziert und den
> Normalenverktor gebildet.
>
> [mm]\overrightarrow{s_u}=\vektor{1 \\ 0\\2u} \overrightarrow{s_v}=\vektor{0 \\ 1\\2v}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{n}=\overrightarrow{s_v}\times\overrightarrow{s_u}=\vektor{1 \\ 0\\2u}\times\vektor{0 \\ 1\\2v}=\vektor{-2u\\-2v\\1}[/mm]
>
> Und danach erstmal allgemein ins folgende Integral
> eingesetzt:
>
> [mm]\phi_M[/mm] = [mm]\integral_{(M)}^{ }{\overrightarrow{V}(\overrightarrow{s}({u,v}))}\*\overrightarrow{n}dA[/mm]
> = [mm]\integral_{(M)}^{ }\vektor{u\\v\\u^{2}+v^{2}-v}\vektor{-2u\\-2v\\1}dA[/mm]
> = [mm]\integral_{(M)}^{ }{-u^2-v^2-v}dA[/mm] = [mm]\integral_{0}^{2\pi }\integral_{0}^{2}({-{r^2cos^2\phi}-{r^2sin^2\phi}-{rsin\phi}})rdrd\phi[/mm]
>
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi }\integral_{0}^{2}({-r^3-{r^2sin\phi}})drd\phi[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi }[\bruch{-r^4}{4}-\bruch{r^3}{3}sin\phi]^2_0d\phi[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi }(-4-\bruch{8}{3}sin\phi)d\phi[/mm] =
> [mm][-4\phi+\bruch{8}{3}cos\phi]^{2\pi}_0[/mm] = [mm]-8\pi[/mm]
>
>
> Dann fehlt noch der Fluss durch den Deckel:
>
> [mm]\overrightarrow{n}=\vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> in der Höhe von z=4. Dort ist die Bedingung des Radius r=2
> erfüllt.
>
> [mm]\phi_D[/mm] =
> [mm]\integral_{(D)}^{}{\vektor{x\\y\\4-y}\*\vektor{0\\0\\1}}dA[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{(4-rsin\phi)}rdrd\phi[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{2}{(4r-r^2sin\phi)}drd\phi[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{[2r^2-\bruch{r^3}{3}sin\phi}]^2_0d\phi[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{2\pi}{(8-\bruch{8}{3}sin\phi})d\phi =[{8\phi+\bruch{8}{3}cos\phi}]^{2\pi}_0[/mm]
> = [mm]16\pi[/mm]
>
>
> Addiert man das gnaze zum Gesamtfluss, komme ich da auf:
>
> [mm]\phi_ges[/mm] = [mm]\phi_M[/mm] + [mm]\phi_D[/mm] = [mm]8\pi[/mm]
>
> Eigentlich müssten [mm]24\pi[/mm] rauskommen, aber meinen Fehler
> finde ich nicht :/
Die Berechnung ist richtig, der Fehler liegt an der
Orientierung von [mm]\vec{n}[/mm] der Mantelfunktion.
Betrachte hier den Normalenvektor an der Stelle u=v=0.
Dieser lautet:
[mm]\overrightarrow{n}\left(0,0\right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Dieser Normalenvektor zeigt in die Fläche hinein.
Nach Definition muß der Normalenvektor nach außen zeigen.
Daher muß der Normalenvektor lauten:[mm]\overrightarrow{n}\left(u,v\right)=\pmat{2u \\ 2v \\ -1}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:00 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Tobi-mathe |
> Die Berechnung ist richtig, der Fehler liegt an der
> Orientierung von [mm]\vec{n}[/mm] der Mantelfunktion.
>
> Betrachte hier den Normalenvektor an der Stelle u=v=0.
>
> Dieser lautet:
>
> [mm]\overrightarrow{n}\left(0,0\right)=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Dieser Normalenvektor zeigt in die Fläche hinein.
> Nach Definition muß der Normalenvektor nach außen
> zeigen.
>
> Daher muß der Normalenvektor
> lauten:[mm]\overrightarrow{n}\left(u,v\right)=\pmat{2u \\ 2v \\ -1}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Ach ja...
Das war mein Fehler, dann werden aus [mm] -8\pi +8\pi [/mm] und dann gehts auf :)
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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