Flussintegral durch Körper < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 08.09.2009 | | Autor: | bam_lee |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F: R³->R³ aus dem Körper K,
wenn
[mm]F(x_1,x_2,x_3) := (\bruch{1}{3}x^3_1,a,b)[/mm]
a,b gegebene Konstanten und
[mm]K := \{(x_1,x_2,x_3) \in R^3 : A^2 \le x_1^2 + x_2^2 \le B^2, 0 \le x_3 \le x_2^2 \}[/mm]
mit gegebenen Konstanten 0 < A < B; |
Hallo erstmal...
Mein Problem bei dieser Aufgabe besteht im Endeffekt nur in der Parametrisierung des Körpers K.
Die erste der beiden Eigenschaften gibt ja lediglich einen Kreiszylinder mit Radius B an, aus dem ein Kreiszylinder mit Radius A ausgeschnitten wird.
Wie habe ich nun die Obergrenze bei der zweiten Eigenschaft zu interpretieren?
Kann mir da jemand helfen?
Wenn ich weiß wie der Körper K aussieht, kann ich mir ja auch (hoffentlich) eine entsprechende Parametrisierung (vermutlich in Zylinderkoordinaten) zurechtbiegen und dann mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss durch K berechnen.
Aber ich hänge echt an der Eigenschaft fest...
Gibt es eigentlich Tools, mit denen man sich solche Körper plotten lassen kann?
Danke schon einmal für die Antwort :)
Gruß
BAM
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F: R³->R³ aus
> dem Körper K, wenn
> [mm]F(x_1,x_2,x_3) := (\bruch{1}{3}x^3_1,a,b)[/mm]
> a,b gegebene Konstanten und
> [mm]K := \{(x_1,x_2,x_3) \in R^3 : A^2 \le x_1^2 + x_2^2 \le B^2, 0 \le x_3 \le x_2^2 \}[/mm]
>
> mit gegebenen Konstanten 0 < A < B;
> Hallo erstmal...
> Mein Problem bei dieser Aufgabe besteht im Endeffekt nur
> in der Parametrisierung des Körpers K.
>
> Die erste der beiden Eigenschaften gibt ja lediglich einen
> Kreiszylinder mit Radius B an, aus dem ein Kreiszylinder
> mit Radius A ausgeschnitten wird.
..... also einen Hohlzylinder (Röhre)
> Wie habe ich nun die Obergrenze bei der zweiten Eigenschaft
> zu interpretieren?
> Kann mir da jemand helfen?
das will ich hoffen ... 
> Wenn ich weiß wie der Körper K aussieht, kann ich mir ja
> auch (hoffentlich) eine entsprechende Parametrisierung
> (vermutlich in Zylinderkoordinaten) zurechtbiegen und dann
> mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss durch K
> berechnen.
> Aber ich hänge echt an der Eigenschaft fest...
> Gibt es eigentlich Tools, mit denen man sich solche
> Körper plotten lassen kann?
Gibt es bestimmt, aber auch damit muss man sich
auskennen. Konkrete Tipps habe ich nicht.
>
> Danke schon einmal für die Antwort :)
>
> Gruß
>
> BAM
Hallo BAM,
statt [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] verwende ich lieber x, y, z .
Also wir haben schon die Röhre, deren Rota-
tionsachse die z-Achse ist.
Die weitere Bedingung [mm] 0\le z\le y^2 [/mm] besagt ers-
tens, dass [mm] z\ge [/mm] 0, das heisst, der Teil der
Röhre unterhalb der x-y-Ebene wird wegge-
schnitten. Zweitens wird durch die Fläche
[mm] z=y^2 [/mm] (parabolischer Zylinder) alles mit [mm] z>y^2 [/mm]
weggeschnitten. Dann bleibt ein Körper mit
endlichem Volumen übrig. Um ihn dir vorzu-
stellen, zeichnest du am besten Ansichten aus
verschiedenen Richtungen. Für die Integration
empfehlen sich natürlich Zylinderkoordinaten,
etwa so:
[mm] $\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\ \integral_{r=A}^{B}\ \integral_{z=0}^{(y(r,\varphi))^2}.......$
[/mm]
dazu brauchst du natürlich die Transformations-
formeln (inkl. Transformation des Differentials)
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Di 08.09.2009 | | Autor: | bam_lee |
Ok, Hohlzylinder trifft den Nagel auf den Kopf :)
Gut, positive z-Achse war mir schon klar,
aber ist der parabolische Zylinder auch rotationssymmetrisch?
Im Endeffekt ist der parabolische Teil nur eine Funktion der Art
z=f(y) , aber nicht von x?
Wenn ja, dann hätte ich auch schon eine Idee für das Volumen-/Flussintegral...
Vielen Dank für die Antwort!
Gruß BAM
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> Ok, Hohlzylinder trifft den Nagel auf den Kopf :)
>
> Gut, positive z-Achse war mir schon klar,
> aber ist der parabolische Zylinder auch
> rotationssymmetrisch?
Nein, das ist er nicht. Die Fläche sieht aus wie das
parabolisch gekrümmte Blech einer Halfpipe. Aus
der Richtung der x-Achse betrachtet sieht man
nur die Parabel.
> Im Endeffekt ist der parabolische Teil nur eine Funktion
> der Art
> z=f(y) , aber nicht von x?
ja, eben
> Wenn ja, dann hätte ich auch schon eine Idee für das
> Volumen-/Flussintegral...
>
> Vielen Dank für die Antwort!
>
> Gruß BAM
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Di 08.09.2009 | | Autor: | bam_lee |
Na toll, da hat sich meine Idee auch wieder in Luft aufgelöst.
Das Ding is ja dann richtig unangenehm in der Handhabung.
Hier hätte ich noch eine Idee für kartesische Koordinaten:
[mm]\int_{A}^{B} \int_{A}^{\wurzel {B^2-y^2}} \int_{0}^{y^2}\quad div\ F\quad dz\ dx\ dy [/mm]
Wäre der Körper rotationssymmetrisch wärs eindeutig einfacher -.-
Trotzdem danke für die Antwort ^^
Gruß BAM
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> Na toll, da hat sich meine Idee auch wieder in Luft
> aufgelöst.
> Das Ding is ja dann richtig unangenehm in der Handhabung.
Es geht, insbesondere wenn man bei der Rechnung
ausgiebig die trigonometrischen Doppelwinkelformeln
einsetzt !
> Hier hätte ich noch eine Idee für kartesische
> Koordinaten:
>
> [mm]\int_{A}^{B} \int_{A}^{\wurzel {B^2-y^2}} \int_{0}^{y^2}\quad div\ F\quad dz\ dx\ dy[/mm]
Das geht wohl nicht so ... ich empfehle dir, bei den
Zylinderkoordinaten zu bleiben.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") Al-Chw.
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