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Flussintegral durch Körper: Parametrisierung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Di 08.09.2009
Autor: bam_lee

Aufgabe
Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F: R³->R³ aus dem Körper K,
wenn
[mm]F(x_1,x_2,x_3) := (\bruch{1}{3}x^3_1,a,b)[/mm]
a,b gegebene Konstanten und
[mm]K := \{(x_1,x_2,x_3) \in R^3 : A^2 \le x_1^2 + x_2^2 \le B^2, 0 \le x_3 \le x_2^2 \}[/mm]
mit gegebenen Konstanten 0 < A < B;

Hallo erstmal...
Mein Problem bei dieser Aufgabe besteht im Endeffekt nur in der Parametrisierung des Körpers K.

Die erste der beiden Eigenschaften gibt ja lediglich einen Kreiszylinder mit Radius B an, aus dem ein Kreiszylinder mit Radius A ausgeschnitten wird.

Wie habe ich nun die Obergrenze bei der zweiten Eigenschaft zu interpretieren?
Kann mir da jemand helfen?

Wenn ich weiß wie der Körper K aussieht, kann ich mir ja auch (hoffentlich) eine entsprechende Parametrisierung (vermutlich in Zylinderkoordinaten) zurechtbiegen und dann mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss durch K berechnen.
Aber ich hänge echt an der Eigenschaft fest...
Gibt es eigentlich Tools, mit denen man sich solche Körper plotten lassen kann?

Danke schon einmal für die Antwort :)

Gruß

BAM



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Flussintegral durch Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Di 08.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes F: R³->R³ aus
> dem Körper K, wenn

> [mm]F(x_1,x_2,x_3) := (\bruch{1}{3}x^3_1,a,b)[/mm]

>  a,b gegebene Konstanten und

>  [mm]K := \{(x_1,x_2,x_3) \in R^3 : A^2 \le x_1^2 + x_2^2 \le B^2, 0 \le x_3 \le x_2^2 \}[/mm]
>  
> mit gegebenen Konstanten 0 < A < B;

> Hallo erstmal...
> Mein Problem bei dieser Aufgabe besteht im Endeffekt nur
> in der Parametrisierung des Körpers K.
>  
> Die erste der beiden Eigenschaften gibt ja lediglich einen
> Kreiszylinder mit Radius B an, aus dem ein Kreiszylinder
> mit Radius A ausgeschnitten wird.

   ..... also einen Hohlzylinder (Röhre)
  

> Wie habe ich nun die Obergrenze bei der zweiten Eigenschaft
> zu interpretieren?

> Kann mir da jemand helfen?

    das will ich hoffen ... ;-)
  

> Wenn ich weiß wie der Körper K aussieht, kann ich mir ja
> auch (hoffentlich) eine entsprechende Parametrisierung
> (vermutlich in Zylinderkoordinaten) zurechtbiegen und dann
> mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss durch K
> berechnen.

> Aber ich hänge echt an der Eigenschaft fest...
> Gibt es eigentlich Tools, mit denen man sich solche
> Körper plotten lassen kann?  

    Gibt es bestimmt, aber auch damit muss man sich
    auskennen. Konkrete Tipps habe ich nicht.

>  
> Danke schon einmal für die Antwort :)
>  
> Gruß
>  
> BAM


Hallo BAM,

statt [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] verwende ich lieber x, y, z .
Also wir haben schon die Röhre, deren Rota-
tionsachse die z-Achse ist.
Die weitere Bedingung  [mm] 0\le z\le y^2 [/mm] besagt ers-
tens, dass [mm] z\ge [/mm] 0, das heisst, der Teil der
Röhre unterhalb der x-y-Ebene wird wegge-
schnitten. Zweitens wird durch die Fläche
[mm] z=y^2 [/mm]  (parabolischer Zylinder) alles mit [mm] z>y^2 [/mm]
weggeschnitten. Dann bleibt ein Körper mit
endlichem Volumen übrig. Um ihn dir vorzu-
stellen, zeichnest du am besten Ansichten aus
verschiedenen Richtungen.  Für die Integration
empfehlen sich natürlich Zylinderkoordinaten,
etwa so:

      [mm] $\integral_{\varphi=0}^{2\,\pi}\ \integral_{r=A}^{B}\ \integral_{z=0}^{(y(r,\varphi))^2}.......$ [/mm]

dazu brauchst du natürlich die Transformations-
formeln (inkl. Transformation des Differentials)

LG   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Flussintegral durch Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Di 08.09.2009
Autor: bam_lee

Ok, Hohlzylinder trifft den Nagel auf den Kopf :)

Gut, positive z-Achse war mir schon klar,
aber ist der parabolische Zylinder auch rotationssymmetrisch?
Im Endeffekt ist der parabolische Teil nur eine Funktion der Art
z=f(y) , aber nicht von x?

Wenn ja, dann hätte ich auch schon eine Idee für das Volumen-/Flussintegral...

Vielen Dank für die Antwort!

Gruß BAM

Bezug
                        
Bezug
Flussintegral durch Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 Di 08.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Ok, Hohlzylinder trifft den Nagel auf den Kopf :)
>  
> Gut, positive z-Achse war mir schon klar,
>  aber ist der parabolische Zylinder auch
> rotationssymmetrisch?

Nein, das ist er nicht. Die Fläche sieht aus wie das
parabolisch gekrümmte Blech einer Halfpipe. Aus
der Richtung der x-Achse betrachtet sieht man
nur die Parabel.

>  Im Endeffekt ist der parabolische Teil nur eine Funktion
> der Art
>  z=f(y) , aber nicht von x?  

ja, eben
  

> Wenn ja, dann hätte ich auch schon eine Idee für das
> Volumen-/Flussintegral...
>  
> Vielen Dank für die Antwort!
>
> Gruß BAM


LG   Al


Bezug
                                
Bezug
Flussintegral durch Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Di 08.09.2009
Autor: bam_lee

Na toll, da hat sich meine Idee auch wieder in Luft aufgelöst.
Das Ding is ja dann richtig unangenehm in der Handhabung.

Hier hätte ich noch eine Idee für kartesische Koordinaten:

[mm]\int_{A}^{B} \int_{A}^{\wurzel {B^2-y^2}} \int_{0}^{y^2}\quad div\ F\quad dz\ dx\ dy [/mm]

Wäre der Körper rotationssymmetrisch wärs eindeutig einfacher -.-

Trotzdem danke für die Antwort ^^

Gruß BAM

Bezug
                                        
Bezug
Flussintegral durch Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Di 08.09.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Na toll, da hat sich meine Idee auch wieder in Luft
> aufgelöst.
>  Das Ding is ja dann richtig unangenehm in der Handhabung.

Es geht, insbesondere wenn man bei der Rechnung
ausgiebig die trigonometrischen Doppelwinkelformeln
einsetzt !
  

> Hier hätte ich noch eine Idee für kartesische
> Koordinaten:
>  
> [mm]\int_{A}^{B} \int_{A}^{\wurzel {B^2-y^2}} \int_{0}^{y^2}\quad div\ F\quad dz\ dx\ dy[/mm]

Das geht wohl nicht so ...  ich empfehle dir, bei den
Zylinderkoordinaten zu bleiben.


[gutenacht]     Al-Chw.

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