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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, ich bin nun bei Folgen und Reihen angelangt, was ich noch nie verstanden habe. :-( Auch jetzt hakt es leider sehr, dabei sind die Sätze und Definitionen eigentlich alle klar. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Naja, jedenfalls weiß ich bei folgender Aufgabe keinen Ansatz, vielleicht könnte mir den jemand sagen?
Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] sei wir folgt rekursiv definiert:
[mm] a_0:=a, a_1:=b, a_n:=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2.
Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.
Das Einzige, was mir hier einfiel, war, dass ich das vielleicht durch Induktion beweisen könnte, denn die Summer zweier konvergenter Folgen ist ja konvergent, wenn ich also zeigen könnte, dass [mm] a_{n-1} [/mm] und [mm] a_{n-2} [/mm] konvergent sind, wäre ich quasi so gut wie fertig. Aber irgendwie glaube ich, dass das so nicht geht.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
> Also, ich bin nun bei Folgen und Reihen angelangt, was ich
> noch nie verstanden habe. :-( Auch jetzt hakt es leider
> sehr, dabei sind die Sätze und Definitionen eigentlich alle
> klar.
>
> Naja, jedenfalls weiß ich bei folgender Aufgabe keinen
> Ansatz, vielleicht könnte mir den jemand sagen?
>
> Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] sei
> wir folgt rekursiv definiert:
>
> [mm]a_0:=a, a_1:=b, a_n:=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm] für [mm]n\ge[/mm]
> 2.
>
> Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren
> Grenzwert.
>
> Das Einzige, was mir hier einfiel, war, dass ich das
> vielleicht durch Induktion beweisen könnte, denn die Summer
> zweier konvergenter Folgen ist ja konvergent, wenn ich also
> zeigen könnte, dass [mm]a_{n-1}[/mm] und [mm]a_{n-2}[/mm] konvergent sind,
> wäre ich quasi so gut wie fertig. Aber irgendwie glaube
> ich, dass das so nicht geht.
>
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Ich persönlich würde die rekursve Definition in eine explizite Definition überführen. Du erhältst dann (die Herleitung ist eine wunderschöne Anwendung der Eigenwerte und Eigenvektoren):
[mm] $a_n=\bruch{1}{3}\left(a+2b+(-1)^n*\bruch{a-b}{2^{n-1}}\right)$
[/mm]
Daran sieht man auch gleich auf einen Blick, dass diese Folge gegen
[mm] $\bruch{a+2b}{3}$
[/mm]
konvergiert.
Mit lieben Grüssen
Paul
P.S. Hast du am Samstag noch gut ausgeschlafen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
> Ich persönlich würde die rekursve Definition in eine
> explizite Definition überführen. Du erhältst dann (die
> Herleitung ist eine wunderschöne Anwendung der Eigenwerte
> und Eigenvektoren):
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{3}\left(a+2b+(-1)^n*\bruch{a-b}{2^{n-1}}\right)[/mm]
>
> Daran sieht man auch gleich auf einen Blick, dass diese
> Folge gegen
>
> [mm]\bruch{a+2b}{3}[/mm]
>
> konvergiert.
Danke für die Antwort! Allerdings scheint mir das doch an dieser Stelle anders gedacht zu sein, denn es ist das vierte Kapitel in einem Analysisbuch, und ich glaube nicht, dass man da schon Eigenwerte und Eigenvektoren kennt (wir haben das jedenfalls erst am Ende des 1. Semesters gemacht). Ich glaub, ich will jetzt auch gar nicht wissen, wie man das macht (auch wenn es nicht allzu lange dauern kann, da du mir die Aufgabe ja recht schnell gelöst hast  ). Vielleicht interessiert es mich, wenn ich Eigenwerte und Eigenvektoren wiederhole. 
Deswegen stelle ich die Frage mal auf halbbeantwortet, vielleicht weiß ja jemand anders, wie es hier gemeint war.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
> P.S. Hast du am Samstag noch gut ausgeschlafen?
Nein, nicht wirklich! Als Andi angerufen hat, war ich schon längst wach. Eigentlich wollte ich ja auch noch mit euch ins Haus der Geschichte gehen, deswegen war ich früh aufgestanden. Aber ich fühlte mich doch noch recht müde, und da ich abends Besuch bekam hatte ich noch genug damit zu tun, mein Zimmer zu putzen und aufzuräumen, und vor allem die Sachen einzukaufen und zu kochen. Das habe ich gerade noch so geschafft. Außerdem musste ich ja auch noch mein Fahrrad vom Bahnhof abholen, dass zum Glück noch da stand. Hattet ihr denn noch viel Spaß? Und wer war eigentlich noch mit dabei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> Hallo!
> Also, ich bin nun bei Folgen und Reihen angelangt, was ich
> noch nie verstanden habe. :-( Auch jetzt hakt es leider
> sehr, dabei sind die Sätze und Definitionen eigentlich alle
> klar.
>
> Naja, jedenfalls weiß ich bei folgender Aufgabe keinen
> Ansatz, vielleicht könnte mir den jemand sagen?
>
> Seien a und b reelle Zahlen. Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] sei
> wir folgt rekursiv definiert:
>
> [mm]a_0:=a, a_1:=b, a_n:=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm] für [mm]n\ge[/mm]
> 2.
>
> Man beweise, dass die Folge konvergiert und bestimme ihren
> Grenzwert.
>
Nun ja, da du die explizite Darstellung des n-ten Gliedes nicht magst, versuche ich es mal so:
eine Folge konvergiert, wenn der Betrag der Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder beliebig klein wird.
Berechnen wir also einefach mal [mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n$:
[/mm]
[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{a_{n-1}+a_n}{2}-\bruch{a_{n-2}+a_{n-1}}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a_{n-1}+a_n-a_{n-2}-a_{n-1}}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a_n-a_{n-2}}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{\bruch{a_{n-2}+a_{n-1}}{2}-a_{n-2}}{2} [/mm] =$
[mm] $\bruch{a_{n-1}-a_{n-2}}{4}$
[/mm]
Du siehst also, dass die Differenz 1 Viertel der Differenz der vorletzten Differenz ist (das musst du wohl 2 mal lesen!).
Es ist also:
[mm] $a_1-a_0 [/mm] = b-a$
[mm] $a_2-a_1 [/mm] = [mm] \bruch{a-b}{2}$
[/mm]
Weiter nach obiger Formel berechnet:
[mm] $a_3-a_2 [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{4}$
[/mm]
[mm] $a_4-a_3 [/mm] = [mm] \bruch{a-b}{8}$
[/mm]
[mm] $a_5-a_4 [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{16}$
[/mm]
[mm] $a_6-a_5 [/mm] = [mm] \bruch{a-b}{32}$
[/mm]
Da erkennst du: [mm] $|a_{n+1}-a_n| [/mm] = [mm] \bruch{|b-a|}{2^n}$
[/mm]
das strebt gegen Null, womit die Konvergenz gezeigt ist.
Für den Grenzwert kannst du die obige Vorarbeit nutzen, indem du einfach die ermittelten Differenzen addierst:
$a + (b-a) - [mm] \bruch{b-a}{2} [/mm] + [mm] \bruch{b-a}{4} [/mm] - [mm] \bruch{b-a}{8} [/mm] + [mm] \bruch{b-a}{16} [/mm] ... =$
$a + (b-a)*(1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] - + ...) =$
Geometrische Reihe!
[mm] $a+(b-a)*\bruch{2}{3}=\bruch{1}{3}*(a+2b)$
[/mm]
In Übereinstimmung mit meiner ersten Antwort!
Herzlichst
Paul
P.S. Oh ja, es war sehr interessant, du hast echt was verpasst! Leider war die Zeit viel zu kurz, so dass wir nicht einmal die ganze Ausstellung sehen konnten. Wir spürten ja auch noch eine gewisse Pizza-Lust, und Stefan musste wieder hurtig nach Hause, um unser hinterlassenes Chaos wegzuräumen. Es ist ihm nicht ganz nach Wunsch geglückt! Er hat wohl die Chaostheorie am eigenen Leib zu spüren bekommen!
Dabei waren noch Andi, Astrid, Hanno, Kristine, Paul und Stefan (in alphabetischer reihenfolge)
Insgesamt ein Treffen, das durchaus wiederholungswürdig ist, vielleicht einmal in der Schweiz? - mit Hanno!! -
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Paul!
> P.S. Oh ja, es war sehr interessant, du hast echt was
> verpasst! Leider war die Zeit viel zu kurz, so dass wir
> nicht einmal die ganze Ausstellung sehen konnten.
Genauer gesagt nur ca. ein Drittel!
> Wir
> spürten ja auch noch eine gewisse Pizza-Lust, und Stefan
> musste wieder hurtig nach Hause, um unser hinterlassenes
> Chaos wegzuräumen. Es ist ihm nicht ganz nach Wunsch
> geglückt! Er hat wohl die Chaostheorie am eigenen Leib zu
> spüren bekommen!
Naja, ich hatte eigentlich schon das meiste weggeräumt. Aber dass ein einziger Schweizer so viel Chaos (=Müll) verursachen kann, das war dann doch unglaubwürdig. Vor allem die 12 Bierflaschen und die eine Flasche Wein war doch "etwas" viel, da ich vorher gesagt hatte, dass du kein Bier trinkst. Und 12 Flaschen trinke selbst ich nur zu besonderen Anlässen...
> Dabei waren noch Andi, Astrid, Hanno, Kristine, Paul und
> Stefan (in alphabetischer reihenfolge)
Ja, aber Astrid war ja leider (!!) nicht mehr mit im Haus der Geschichte, woraus folgt, dass sie es irgendwann unbedingt nachholen muss.
> Insgesamt ein Treffen, das durchaus wiederholungswürdig
> ist, vielleicht einmal in der Schweiz? - mit Hanno!! -
Ich bin dabei - vielleicht kann ich Sandra dann ja mitbringen. Oder würde das zu sehr stören?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 Do 28.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Paul!
> Nun ja, da du die explizite Darstellung des n-ten Gliedes
> nicht magst, versuche ich es mal so:
Also, ich hab' nicht gesagt, dass ich sie nicht mag, sondern nur, dass hier wohl noch eine andere Lösung möglich sein müsste. Und du brauchtest dich auch nicht gezwungen zu fühlen, sie zu beantworten. Aber danke vielmals.
Die Aufgabe war ja sogar doch ganz interessant, aber ich müsste mal selber auf so einen Ansatz kommen. Da gibt's aber keine Tricks für, so allgemein, oder? Wahrscheinlich einfach viel Beschäftigung mit so etwas...
Freut mich für euch, dass ihr noch viel Spaß hattet.
> Insgesamt ein Treffen, das durchaus wiederholungswürdig
> ist, vielleicht einmal in der Schweiz? - mit Hanno!! -
Können wir gerne machen - dieses Jahr noch? Ich fahre ja wahrscheinlich gar nicht in Urlaub. :-/
Viele liebe Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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