Folge (1+1/n)^n beschränkt! < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Di 30.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Folgen (an) = [mm] (1+1/n)^n [/mm] und (bn)= [mm] 1+1/n)^n+1
[/mm]
verwenden sie dass (an) monoton steigend und (bn) monoton fallend ist(dies brauceh Sie nicht zu beweisen)
Zeigen sie damit
a) (an) ist nach oben beschränkt, also konvergent
b) (an) ist nach unten beschränkt, also konvergent
C) lim(bn - an) = 0, also lim (an) = lim (bn)=a=b |
hallo kann mir jeand bei den beweisen helfen?
ich weiß dass der grenzwert e ist und kenne die definitionen von beschränkt und monoton, aber ich kann mir nicht so richtig helfen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
danke
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Ich glaube, in deiner Aufgabenstellung ist einiges durcheinander geraten, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Di 30.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
mit (an) ist immer die folge gedacht. das n gehört in den index
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 30.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
bn = (1+ [mm] 1/n)^{n+1}
[/mm]
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Es muß wohl
[mm]a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \, , \ \ \ b_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1}[/mm]
heißen. Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgt:
[mm]\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \ \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \, \frac{1}{n^k}[/mm]
Für [mm]k \geq 2[/mm] gilt nun:
[mm]{n \choose k} \, \frac{1}{n^k} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} = \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{k-1}{n} \right) \cdot \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{2^{k-1}}[/mm]
Und hiermit kannst du oben die Reihe durch eine geometrische Reihe abschätzen.
Du kannst es dir natürlich noch einfacher machen, wenn du die ohne Beweis mitgeteilten Informationen einsetzt. Denn offenbar gilt [mm]a_n < b_n[/mm], so daß man
[mm]a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < b_3 < b_2 < b_1[/mm]
erhält. Damit taugt jedes [mm]b_k[/mm] als obere Schranke für [mm]\left( a_n \right)_n[/mm] und jedes [mm]a_k[/mm] als untere Schranke für [mm]\left( b_n \right)_n[/mm]. Letztlich geht es dann darum zu zeigen, daß die Intervalle [mm][a_n,b_n], n \in \mathbb{N}[/mm] eine Intervallschachtelung bilden.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:34 Di 30.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
vielen dank...du hast mir echt sehr geholfen´.
kannst du mir noch kurz erläutern, wie ich zeigen kann dass es eine intervallschachtelung ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 30.05.2006 | | Autor: | Jan85 |
ok danke für deine hilfe...jetzt hab ich alles
lg
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