Folge: Grenzwert u. Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe die Folge
[mm] $a_n:=\frac{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{2\cdot\left(\delta^2+(c\cdot n)^2\right)^{\frac{1}{4}}}$, $n\in\IN$, $n\neq [/mm] 0$, [mm] $0<\delta\in\IR$, $0\neq c\in\IR$
[/mm]
Und mochte gerne zeigen, dass
[mm] $a_n\leqslant a_{n+1}$ $\forall\;n\in\IN$, $n\neq [/mm] 0$ (monoton wachsend)
[mm] $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2\cdot\left(c^2\right)^{\frac{1}{4}}}$ [/mm] (Konvergenz)
Irgendwie machen mir jedoch die Potenzen zu schaffen. Hat jemand eine Idee,
wie ich dies zeigen koennte.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Fr 10.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe die Folge
>
> [mm]a_n:=\frac{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{2\cdot\left(\delta^2+(c\cdot n)^2\right)^{\frac{1}{4}}}[/mm],
> [mm]n\in\IN[/mm], [mm]n\neq 0[/mm], [mm]0<\delta\in\IR[/mm], [mm]0\neq c\in\IR[/mm]
>
> Und mochte gerne zeigen, dass
>
> [mm]a_n\leqslant a_{n+1}[/mm] [mm]\forall\;n\in\IN[/mm], [mm]n\neq 0[/mm] (monoton
> wachsend)
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2\cdot\left(c^2\right)^{\frac{1}{4}}}[/mm]
> (Konvergenz)
>
> Irgendwie machen mir jedoch die Potenzen zu schaffen. Hat
> jemand eine Idee,
> wie ich dies zeigen koennte.
Die Konvergenz ist relativ einfach zu zeigen: Klammere in Zähler und Nenner jeweils [mm]n^{1/2}[/mm] aus:
[mm] \frac{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{2\cdot\left(\delta^2+(c\cdot n)^2\right)^{\frac{1}{4}}} = \bruch{n^{1/2}\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{\frac{1}{2}}}{2n^{1/2}\cdot\left((\delta/n)^2+c^2\right)^{\frac{1}{4}}} = [/mm][mm] \bruch{\left(1-\frac{1}{2n}\right)^{\frac{1}{2}}}{2\left((\delta/n)^2+c^2\right)^{\frac{1}{4}}} [/mm] .
Nach Kürzen konvergieren Zähler und Nenner sogar unabhängig voneinander.
Die Monotonie sehe ich auf die Schnelle nicht, aber vielleicht geht es einfacher, wenn du den Grenzwert [mm]\frac{1}{2\cdot\left(c^2\right)^{\frac{1}{4}}}[/mm] ausklammerst und den verbleibenden Bruch betrachtest. Da Zähler und Nenner positiv sind, kannst du auch erst einmal die 4. Potenz berechnen und dann auf Monotonie untersuchen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Denny22 |
Vielen lieben Dank fuer den Hinweis.
Es war im Nachhinein doch sehr einfach.
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