Folge: Grenzwert und Monotonie < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei q > 1 und [mm] b_{0} [/mm] > [mm] \wurzel{q}. [/mm] Durch [mm] b_{0} [/mm] und [mm] b_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{b_{n}} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
ist eine rekursive Folge [mm] (b_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] definiert.
a) Zeigen Sie, dass für alle n /in [mm] /IN_{0} [/mm] gilt [mm] b_{n} [/mm] > [mm] \wurzel{q}.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (b_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN_{0} [/mm] streng monoton fallend ist.
c) Folgern Sie die Konvergenz der Folge [mm] (b_{n}) [/mm] n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
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Hallo!
Wäre cool wenn mal jmd über meinen Lösungsweg gucken, könnte. Ich hab nömlich für a und b quasi 3x das gleiche gemacht und die c folgt meiner meinung nach aus a) unb b) und ich wunder rmich dass es dafür 4 Punkte zu holen gibt...
b)
zu zeigen [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
Dies mache ich per Induktion:
IA: n=0: zu zeigen: [mm] b_{1} [/mm] - [mm] b_{0} [/mm] < 0
Aus [mm] b_{1} [/mm] - [mm] b_{0} [/mm] wird per Definition:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (b_{0} [/mm] + [mm] \bruch{q}{b_{0}} [/mm] - [mm] b_{0}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}b_{0} [/mm] - [mm] b_{0} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{0}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}b_{0} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{0}}
[/mm]
Es bleibt also zu zeigen: [mm] -\bruch{1}{2}b_{0} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{0}} [/mm] < 0
<=> [mm] -\bruch{1}{2}b_{0} [/mm] < - [mm] \bruch{q}{2b_{0}} [/mm] | * [mm] (-\bruch{1}{2})
[/mm]
<=> [mm] b_{0} [/mm] > [mm] \bruch{q}{b_{0}} [/mm] | * [mm] b_{0}
[/mm]
<=> [mm] (b_{0})^{2} [/mm] > q
Dies gilt ja bereits per Definition von [mm] b_{0} [/mm] => IA
IV: Sei n [mm] \in \IN_{0} [/mm] fest aber beliebig und gelte die Aussage für dieses n.
IS: n=0: zu zeigen: [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] < 0
Aus [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] wird per Definition:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{b_{n}} [/mm] - [mm] b_{n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}b_{n} [/mm] - [mm] b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{n}}
[/mm]
= [mm] -\bruch{1}{2}b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{n}}
[/mm]
Es bleibt also zu zeigen: [mm] -\bruch{1}{2}b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{n}} [/mm] < 0
<=> [mm] -\bruch{1}{2}b_{n} [/mm] < - [mm] \bruch{q}{2b_{n}} [/mm] | * [mm] (-\bruch{1}{2})
[/mm]
<=> [mm] b_{n} [/mm] > [mm] \bruch{q}{b_{n}}
[/mm]
Dies ist die Aussage die es in a) zu zeigen gilt
Wenn a) ok => b) per Induktion /forall n /in [mm] /IN_{0} [/mm] ok
Also zeige ich jetzt a)
Zu zeigen [mm] b_{n} [/mm] - /wurzel q < 0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
IA: n=0 per Definition trivial
IV: Sei n [mm] \in \IN_{0} [/mm] fest aber beliebig und gelte die Aussage für dieses n.
IS: zu zeigen: [mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel [/mm] {q} > 0
per Definition für [mm] b_{n+1} [/mm] ist also zu zeigen
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{b_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{q} [/mm] > 0
<=> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] b_{n} [/mm] + [mm] \bruch{q}{2b_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{q} [/mm]
= [mm] \bruch{b_{n}*b_{n} + q}{2b_{n}} [/mm] - [mm] \wurzel{q}
[/mm]
da b{n} > [mm] \wurzel{q} [/mm]
> [mm] \bruch{\wurzel{q}}*\wurzel{q} [/mm] + [mm] q{2\wurzel{q}} [/mm] - [mm] \wurzel{q}
[/mm]
= [mm] \bruch{q + q}{2\wurzel{q}} [/mm] - [mm] \wurzel{q}
[/mm]
[mm] =\bruch{2q}{2\wurzel{q}} [/mm] - [mm] \wurzel{q}
[/mm]
= [mm] \wurzel{q} [/mm] - [mm] \wurzel{q} [/mm] = 0
Per Induktion folgt die Aussage a) /forall n /in [mm] /IN_{0}
[/mm]
Mit a) folgt per Induktion wie oben gezeigt die Aussage b) /forall n /in [mm] /IN_{0}
[/mm]
c) Da nach a) [mm] b_{n} [/mm] > \ wurzel {q} /forall n /in [mm] /IN_{0} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] nach b) streng monoton fallend ist. => c) [mm] b_{n} [/mm] konvergiert
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du kannst den Nenner so nicht abschätzen, denn [mm]\bruch{1}{b_n} < \bruch{1}{\sqrt{q}}[/mm].
