Folge definieren (mit Rek.for) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 So 09.12.2012 | | Autor: | jollo |
| Aufgabe | Es sei [mm] x_{0} \in \IR, [/mm] 0 < [mm] x_{0} [/mm] < 1. Definiere nun eine Folge [mm] (x_{n})n\in\IN [/mm] durch die Rekursionsformel:
[mm] x_{n+1} [/mm] := [mm] x_{n}(2-x_{n}).
[/mm]
Man bestimme, falls existent, den Grenzwert dieser Folge. |
Hallo,
Dies ist eine Aufgabe auf unserem Übungsblatt zudem ich (erstmal) gerne keine Komplettlösung hätte.
Mein Problem ist nur, dass ich mich nicht erinnern kann, dass wir in der Vorlesung schonmal was von Rekursiven Folgen gehabt hätten und somit überhaupt keinen Ansatz finde an die Aufgabe ranzugehen.
Bin über jeden Tipp dankbar:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Es sei [mm]x_{0} \in \IR,[/mm] 0 < [mm]x_{0}[/mm] < 1. Definiere nun eine
> Folge [mm](x_{n})n\in\IN[/mm] durch die Rekursionsformel:
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] := [mm]x_{n}(2-x_{n}).[/mm]
>
> Man bestimme, falls existent, den Grenzwert dieser Folge.
> Hallo,
>
> Dies ist eine Aufgabe auf unserem Übungsblatt zudem ich
> (erstmal) gerne keine Komplettlösung hätte.
> Mein Problem ist nur, dass ich mich nicht erinnern kann,
> dass wir in der Vorlesung schonmal was von Rekursiven
> Folgen gehabt hätten und somit überhaupt keinen Ansatz
> finde an die Aufgabe ranzugehen.
Nun, das wird dir in deinem Studium noch häufiger passieren. 
Zeige, dass die Folge monoton wächst und dass sie beschränkt ist. Wenn dir das gelungen ist, kannst du mit
[mm] x_{n+1}=x_n=g
[/mm]
in die Rekursionsgleichung eingehen und den Grenzwert leicht bestimmen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 09.12.2012 | | Autor: | jollo |
Hi,
erstmal danke für die schnelle Hilfe.
stimmt das, dass ich monoton wachsend nachweise indem ich [mm] x_{n+1} \ge x_{n}
[/mm]
nachprüfe?
wenn ja dann steht dann ja:
[mm] x_{n}(2-x_{n}) \le (x_{n}(2-x_{n}))*(2-x_{n}(2-x_{n})) [/mm] = [mm] x_{n}*(4-6x_{n}+4x_{n}^2-5x_{n}^3) [/mm] wenn ich mich nicht verrechnet hab.
Wo seh ich da jetzt dass die ungleichung stimmt? ist das in der Klammer am schluss wirklich kleiner als [mm] (2-x_{n})?
[/mm]
Hoffe ich denk grad nicht in die ganz falsche richtung und das ist ein konstruktiver beitrag:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 09.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Hi,
> erstmal danke für die schnelle Hilfe.
>
> stimmt das, dass ich monoton wachsend nachweise indem ich
> [mm]x_{n+1} \ge x_{n}[/mm]
> nachprüfe?
Ja, aber nicht so umständlich. Berechne [mm]x_{n+1}-x_n[/mm] = [mm]x_{n}(2-x_{n}) -x_n[/mm] und weise nach, dass das größer als 0 ist.
Gruß Abakus
> wenn ja dann steht dann ja:
> [mm]x_{n}(2-x_{n}) \le (x_{n}(2-x_{n}))*(2-x_{n}(2-x_{n}))[/mm] =
> [mm]x_{n}*(4-6x_{n}+4x_{n}^2-5x_{n}^3)[/mm] wenn ich mich nicht
> verrechnet hab.
>
> Wo seh ich da jetzt dass die ungleichung stimmt? ist das in
> der Klammer am schluss wirklich kleiner als [mm](2-x_{n})?[/mm]
>
> Hoffe ich denk grad nicht in die ganz falsche richtung und
> das ist ein konstruktiver beitrag:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 09.12.2012 | | Autor: | jollo |
ah okay dass ist natürlich leichter:)
Ich hab das auch glaub mit n+1 und n+2 oben versucht.
Auf das $ [mm] (2-x_{n})? [/mm] $ bin ich gekommen weil ja auf beiden seiten [mm] x_{n} [/mm] steht und man dann nur noch den Inhalt der Klammern meiner Meinung nach hätte vergleichen müssen.. da ich aber eh [mm] x_{n+1} \le x_{n+2} [/mm] verglichen hab ist das glaub uninteressant:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 09.12.2012 | | Autor: | jollo |
Hallo und danke schonmal:)
Zwei Fragen wären noch offen:
1. Wie kommst du auf $ [mm] x_{n+1}=x_n=g [/mm] $? Nach der Formel wäre der Grenzwert 1 was wahrscheinlich auch stimmt.. nur kann ich das einfach so hinschreiben?
2. Ich komm mit dem Beschränktheitsbeweis noch nicht so ganz klar.. wie geh ich da am besten vor?
Danke für jede Hilfe:)
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Hallo jollo,
> Zwei Fragen wären noch offen:
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> 1. Wie kommst du auf [mm]x_{n+1}=x_n=g [/mm]?
Wenn ein Grenzwert g existiert, dann müssen für [mm] n\to\infty [/mm] doch sowohl [mm] x_n [/mm] als auch [mm] x_{n+1} [/mm] gegen diesen Grenzwert konvergieren.
Mit dem obigen Ansatz nimmt man sozusagen kurzerhand n als [mm] \infty [/mm] an; dann lässt sich g (oft) direkt berechnen.
> Nach der Formel wäre
> der Grenzwert 1 was wahrscheinlich auch stimmt.. nur kann
> ich das einfach so hinschreiben?
Na, nach der Formel könnte der Grenzwert entweder g=0 oder g=1 sein. Um herauszufinden, dass für [mm] 0
> 2. Ich komm mit dem Beschränktheitsbeweis noch nicht so
> ganz klar.. wie geh ich da am besten vor?
Im Prinzip genauso wie bei der Monotonie.
Unternimm doch mal einen Versuch. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 10.12.2012 | | Autor: | jollo |
Auch dir erstmal danke:)
Mir ist da eine Idee gekommen: Kann ich vlt einfach [mm] |x_{n+1}-x_{n}|>|x_{n+2}-x_{n+1}| [/mm] anschaun und wenn das stimmt wird die Differenz immer kleiner und deshalb bin ich irgendwann in diesem "Epsilon-schlauch" was dann ja ein Beschränktheitsbeweis wäre?
(habs mal versucht, dann steht da wenn ich mich nicht verrechnet hab:
[mm] |x_{n}-x_{n}^2| \ge |-x_{n}^4+4x_{n}^3-5x_{n}^2+2x_{n}|
[/mm]
kann damit aber nichts anfangen :(
Eine weitere Frage wäre da noch: die Aufgabenstellung besagt dass ich eine Folge [mm] (x_{n})n \in [/mm] N definieren soll. Mir fehlt da i-wie die Idee wie das gehn soll von einer rekursiven Formel auf eine allgemeine Folge zu gelangen.
Gruß
jollo
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Hallo jollo,
> Mir ist da eine Idee gekommen: Kann ich vlt einfach
> [mm]|x_{n+1}-x_{n}|>|x_{n+2}-x_{n+1}|[/mm] anschaun und wenn das
> stimmt wird die Differenz immer kleiner und deshalb bin ich
> irgendwann in diesem "Epsilon-schlauch" was dann ja ein
> Beschränktheitsbeweis wäre?
Nein, das wäre ein Konvergenzbeweis.
Allerdings könntest Du ihn zum Nachweis der Beschränktheit nutzen, wenn Du Dir ein paar Gedanken über [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] machst.
Ob das geschickt ist, habe ich nicht versucht.
> (habs mal versucht, dann steht da wenn ich mich nicht
> verrechnet hab:
> [mm]|x_{n}-x_{n}^2| \ge |-x_{n}^4+4x_{n}^3-5x_{n}^2+2x_{n}|[/mm]
>
> kann damit aber nichts anfangen :(
Das rechne ich auch nicht nach. Damit könnte ich nämlich auch nichts anfangen.
> Eine weitere Frage wäre da noch: die Aufgabenstellung
> besagt dass ich eine Folge [mm](x_{n})n \in[/mm] N definieren soll.
Tja, das ist blöd formuliert. Danach wird die Folge ja definiert, so dass Deine Arbeit erledigt ist.
> Mir fehlt da i-wie die Idee wie das gehn soll von einer
> rekursiven Formel auf eine allgemeine Folge zu gelangen.
Das ist doch auch überhaupt nicht gefordert. Auch eine rekursive Definition ist eine Definition. Punkt.
Allerdings ist es hier ganz hilfreich, eine explizite Definition zu haben. Hier ist sie:
[mm] x_n=1-(x_0-1)^{(2^n)}
[/mm]
Vielleicht kommst Du damit ja mit dem Nachweis der Beschränktheit weiter. Nur wirst Du die explizite Formel nachweisen oder herleiten müssen. Sie wird ja schließlich nicht vom Himmel gefallen sein.
Grüße
reverend (Erzengel in spe)
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