Folge der komplexen Zahlen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
| Aufgabe | Zu den komplexen Zahlen:
Wir wissen: [mm] \IC [/mm] ist nicht angeordnet. Definieren können wir für diese Aufgabe aber eine "schwache Teilordnung", indem wir uns auf den Betrag stützen und eine "betragsmonoton steigende" Folge [mm] (z_{n}) [/mm] definieren als:
n < m [mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] z_{n} [/mm] | < | [mm] z_{m} [/mm] | . Ebenso können wir Beschränktheit einer Folge definieren als:
[mm] \exists [/mm] a, b [mm] \in \IR [/mm] : a [mm] \le [/mm] | [mm] z_{n} [/mm] | [mm] \le [/mm] b [mm] \forall [/mm] n. Prüfen Sie, ob für in diesem Sinne "betragsmonoton steigende" Folgen komplexer Zahlen der Satz von der monotonen Konvergenz aus dem Reellen übertragbar ist! (Beweis oder Gegenbeispiel) |
Hier soll man ja entweder ein Gegenbeispiel finden, oder einen Beweis durchführen. Ich habe mir dazu überlegt, ob es eine komplexe Folge gibt die konvergiert und desssen Folgenglieder in der epsilon umgebung herumspringen habe aber irgendwie keine Folge gefunden, die das macht, was vielleicht daran liegt, dass es keine gibt. 
Den Beweis könnte man so ansetzen, indem man den Satz von Bolzano Weierstraß verwendet und vorher noch zeigt, dass die Beschränktheit gilt. Doch da weiß ich auch nicht genau wie ich vorgehen soll...
Danke für eure Hilfe!
Gruß Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Schau Dir mal folgende Folge an:
[mm] z_n [/mm] = [mm] (1+1/n)^n +i^n.
[/mm]
Zeige:
1. [mm] (z_n) [/mm] ist divergent.
2. [mm] (z_n) [/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
FRED
Edit: Wie Marcel weiter unten festgestellt hat ist obige Folge nicht betragsmonoton
Also: 2. [mm] (z_n) [/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 Do 20.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie man auf [mm] i^n [/mm] kommt.
Gruß Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für die Antwort!
> Allerdings ist mir nicht ganz klar, wie man auf [mm]i^n[/mm]
> kommt.
das ist doch gar nicht so interessant. Aber wir stellen vll. mal generell noch folgende einfachere Überlegung an:
Nimm irgendeine streng monoton wachsende Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] > 0$ für alle [mm] $n\,.$ [/mm] Zudem sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergent gegen ein $a > [mm] 0\,.$ [/mm] (Damit ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] als konvergente Folge insbesondere beschränkt. Hier wäre aber auch eh $a > 0$ eine obere Schranke für [mm] $(a_n)_n\,.$)
[/mm]
(Beispiel: Z.B. [mm] $(a_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=1-\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] wäre solch' eine Folge.)
Jetzt betrachte [mm] $z_n:=(-1)^n*a_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] (D.h., diese Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] ist sogar reellwertig.)
Warum erfüllt [mm] $(z_n)_n$ [/mm] die Voraussetzungen und warum kann [mm] $(z_n)_n$ [/mm] auch in [mm] $\IC$ [/mm] nicht konvergieren?
P.S.:
Bei Fred's Folge habe ich auch etwas Probleme (mit der Betragsmonotonie!), weil [mm] $i^2=-1$ [/mm] und [mm] $i^4=1$ [/mm] gilt.
(Genauer für gerades $n=2k$: [mm] $i^{2k}=(-1)^k=\begin{cases} 1, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ -1, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}\,.$) [/mm]
Ich nehme an, er wollte da eher [mm] $(1+1/n)^n+(-1)^n*i$ [/mm] stehen haben oder die Folge sogar noch ganz anders definieren...
P.P.S.:
Generell steckt hier folgende Überlegung dahinter:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] > 0$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] eine streng monoton wachsende Folge in [mm] $\IR$, [/mm] konvergent gegen $a > 0$. Insbesondere ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] dann durch $a > 0$ beschränkt. Jetzt zeichne die Folgeglieder von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] in die Gaußsche Zahlenebene und zeichne Dir mal den Kreis um $0+0*i$ mit Radius $a [mm] \,>\, [/mm] 0$ ein. [mm] $z_1$ [/mm] sei nun irgendein Punkt auf dem Rand des Kreises um $0+0*i$ mit Radius [mm] $a_1 [/mm] > 0$, [mm] $z_2$ [/mm] analog auf dem Rand des Kreises mit Radius [mm] $a_2 [/mm] > 0$ etc. pp. (dies kannst Du nun für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] tun!)
Die Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] ist dann per Konstruktion betragsmonoton und beschränkt. Je nachdem, wie man die einzelnen Folgeglieder allerdings auswählt, wird sie nicht konvergieren. (Man könnte z.B. fordern, dass der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern bei der Folge [mm] $z_n$ [/mm] stets [mm] $=\pi/2$ [/mm] sein soll oder ähnliches).
Mal Dir das ganze vll. mal als Bildchen auf, wobei Du [mm] $\IC$ [/mm] als Gaußsche Zahlenebene bzw. mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierst!
Übrigens noch etwas generelles:
Wenn Du für eine Behauptung ein konkretes Gegenbeispiel hast, so ist es nicht notwendig, eine Herleitung zu liefern, wie Du dieses gefunden/konstruiert hast. Es reicht, wenn Du sagst, dass das, was Du gefunden hast, ein Gegenbeispiel ist und Du dann auch nachweist, warum das ein Gegenbeispiel ist.
Also alleine zu sagen: "Mit ... habe ich ein Gegenbeispiel gefunden." reicht natürlich nicht. Sondern Du musst auch nachweisen, dass das tatsächlich ein Gegenbeispiel ist.
Oben z.B.:
Es reicht nicht, zu sagen:
Die Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] mit [mm] $z_n:=(-1)^n(1-1/n)$ [/mm] ist ein Gegenbeispiel. Das alleine ist zu wenig. Du musst nun noch folgendes nachweisen (dass [mm] $(z_n)_n$ [/mm] auch eine Folge in [mm] $\IC$ [/mm] ist, ist wiederum wegen [mm] $\IR \subset \IC$ [/mm] trivial, das brauchst Du nicht wirklich dazuzuschreiben, könnte man aber der Vollständigkeit wegen machen!):
[mm] $\bullet$ $(z_n)_n$ [/mm] ist eine betragsmonoton wachsende Folge
[mm] $\bullet$ $(z_n)_n$ [/mm] ist beschränkt
[mm] $\bullet$ $(z_n)_n$ [/mm] ist divergent
Erst dann ist die Behauptung, dass das ein Gegenbeispiel ist, auch wirklich begründet 
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 02:28 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Schau Dir mal folgende Folge an:
>
> [mm]z_n[/mm] = [mm](1+1/n)^n +i^n.[/mm]
irgendwie meintest Du sicher eine andere Folge:
[mm] $$|z_1|=|(1+1/1)^1+i|=\sqrt{5} [/mm] > [mm] 2\,.$$
[/mm]
[mm] $$|z_2|=|(1+1/2)^2+i^2|=|2,25-1|=1,25 [/mm] < [mm] |z_1|\,.$$
[/mm]
(Das finge ja schon schlecht an .)
Diese Folge ist in dieser Form nicht betragsmonoton wachsend (hat aber sicher durchaus mindestens eine betragsmonoton wachsende Teilfolge).
Gruß,
Marcel
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> Schau Dir mal folgende Folge an:
>
> [mm]z_n[/mm] = [mm](1+1/n)^n +i^n.[/mm]
>
> Zeige:
>
> 1. [mm](z_n)[/mm] ist divergent.
>
> 2. [mm](z_n)[/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
>
> FRED
>
>
> Edit: Wie Marcel weiter unten festgestellt hat ist obige
> Folge nicht betragsmonoton
>
>
> Also: 2. [mm](z_n)[/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
Wie wäre es mit einer minimalen Abänderung:
[mm]z_n[/mm] = [mm](1+1/n)^n *i^n[/mm]
(Multiplikation statt Addition !)
oder z.B.
$\ [mm] z_n=(1-1/n)*i^n$
[/mm]
Diese Folgen sind betragsmonoton und beschränkt, aber nicht konvergent.
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Schau Dir mal folgende Folge an:
> >
> > [mm]z_n[/mm] = [mm](1+1/n)^n +i^n.[/mm]
> >
> > Zeige:
> >
> > 1. [mm](z_n)[/mm] ist divergent.
> >
> > 2. [mm](z_n)[/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
> >
> > FRED
> >
> >
> > Edit: Wie Marcel weiter unten festgestellt hat ist obige
> > Folge nicht betragsmonoton
> >
> >
> > Also: 2. [mm](z_n)[/mm] ist betragsmonoton und beschränkt.
>
>
> Wie wäre es mit einer minimalen Abänderung:
>
>
> [mm]z_n[/mm] = [mm](1+1/n)^n *i^n[/mm]
>
> (Multiplikation statt Addition !)
>
> oder z.B.
>
> [mm]\ z_n=(1-1/n)*i^n[/mm]
>
> Diese Folgen sind betragsmonoton und beschränkt, aber nicht
> konvergent.
>
> Gruß Al
jo, man hätte auch [mm] $(1+1/n)^n+(-1)^n*i$ [/mm] hernehmen können. Ich habe unten ja auch schon ein "Kontruktionsprinzip" angedeutet, wie man sich solche Folgen basteln kann.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu den komplexen Zahlen:
> ...
> Ebenso
> können wir Beschränktheit einer Folge definieren als:
> [mm]\exists[/mm] a, b [mm]\in \IR[/mm] : a [mm]\le[/mm] | [mm]z_{n}[/mm] | [mm]\le[/mm] b [mm]\forall[/mm] n.
nur mal eine Anmerkung dazu: Die Forderung mit dem $a [mm] \in \IR$ [/mm] ist unnötig, da $|w| [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $w [mm] \in \IC\,.$ [/mm] Also ein solches $a$ wie oben existiert immer, Du kannst einfach ein $a [mm] \le [/mm] 0$ bzw. auch einfach $a=0$ wählen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 20.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Hallo,
also ich habe jetzt mit der Folge [mm] (1+1/n)^n [/mm] + [mm] (-1)^n*i [/mm] versucht und konnte die Monotonie zeigen, aber beim Nachweis der Beschränktheit habe ich immer noch Probleme. Ich habe es versucht mit der unteren Schranke -1 und der oberen Schranke 1. Bei der unteren Schranke hat es noch funktioniert aber bei der oberen gab es einen Widerspruch. Ich kann mir allerdings die Schranken einer komplexen Folge gar nicht richtig vorstellen. Sind meine Schranken (-1, +1) überhaupt korrekt?
Vielen Dank!
Gruß Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein.
trivialerweise ist -1 eine untere Schranke der [mm] z_n, [/mm] wobei [mm] z_n [/mm] = $ [mm] (1+1/n)^n [/mm] $ + $ [mm] (-1)^n\cdot{}i [/mm] $
Du mußt [mm] |z_n| [/mm] betrachten:
[mm] |z_n| [/mm] = [mm] \wurzel{((1+1/n)^n)^2+1} \le \wurzel{e^2+1}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 20.11.2008 | | Autor: | Martin20 |
Okay danke, dass die Teilfolge gegen e geht habe ich vorher schon vermutet, allerdings hänge ich gerade daran zu zeigen, dass [mm] (1+1/n)^n [/mm] kleiner gleich e ist.
Gruß Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay danke, dass die Teilfolge gegen e geht habe ich vorher
> schon vermutet, allerdings hänge ich gerade daran zu
> zeigen, dass [mm](1+1/n)^n[/mm] kleiner gleich e ist.
naja, das ergibt sich aus der Definition von [mm] $e\,,$ [/mm] weil die Folge [mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] (streng) monoton wachsend (das folgt mit der Bernoulli-Ungl.) gegen [mm] $\,e\,$ [/mm] ist.
(Falls ihr nicht [mm] $e=\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^n\,,$ [/mm] sondern mithilfe der Exponentialreihe definiert habt, so findest Du diese Aussage + Beweis auch ![[]](/images/popup.gif) hier in Satz 7.4 bzw. Bemerkung 7.5. Schau' auch mal in Beispiel 5.13.)
Unabhängig davon sind konvergente Folgen eh beschränkt, Du musst da also keine bestmögliche (im Sinne von kleinste) obere Schranke angeben, sondern es reicht vollkommen, (irgend-)eine obere Schranke anzugeben.
Es geht also z.B. auch so:
Offensichtlich gilt für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$(1+1/n)^n \le (1+1/n)^{n+1}$$
[/mm]
und die Folge [mm] $((1+1/n)^{n+1})_{n \in \IN}$ [/mm] ist (streng) monoton fallend (gegen [mm] $\,e\,$) [/mm] (das muss man sich überlegen, dabei hilft die Bernoulli-Ungleichung). Mitfilfe dieser Aussage bekämst Du dann auch [mm] $(1+1/n)^n \le (1+1/1)^{1+1}=4$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (mit einer einfachen kleinen Zwischenüberlegung).
[mm] $\text{(}$P.S.:
[/mm]
Man kann damit sogar an [mm] $\,e\,$ [/mm] ein wenig eingrenzen:
[mm] $$(1+1/n)^n [/mm] < e < [mm] (1+1/n)^{n+1}\;\;\;\text{für alle }n \in \IN\,.\text{)}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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