Folge, die (fast) alle Primzahlen enthält < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 23:45 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Zeige:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \sqrt{24n+1}$
[/mm]
enthält alle Primzahlen außer $2$ und $3$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi @ all,
ich hätte da einen Lösungsvorschlag, den ich für recht vielversprechend halte :
Das Problem lässt sich relativ elegant mit vollständiger Induktion angehen:
Für den Induktionsanfang gilt: A(1) = [mm] \wurzel{24+1} [/mm] = 5
Damit wäre schonmal gezeigt, dass es in dieser Reihe keine kleinere Primzahl geben kann!
Induktionsvorraussetzung: A(n) gilt !
Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass es auch für jeden beliebigen nat. Nachfolger einer Zahl [mm] \in \IN [/mm] gilt.
A(n+1) = [mm] \wurzel{24*(n+1)+1} [/mm] = [mm] \wurzel{24*n+25} [/mm] folgt nach Induktionsvorraussetzung !
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo fermat!
> ich hätte da einen Lösungsvorschlag, den ich für recht
> vielversprechend halte :
Ich nicht.  (Nimm mir das bitte nicht übel.)
> Das Problem lässt sich relativ elegant mit vollständiger
> Induktion angehen:
> Für den Induktionsanfang gilt: A(1) = [mm]\wurzel{24+1}[/mm] = 5
> Damit wäre schonmal gezeigt, dass es in dieser Reihe keine
> kleinere Primzahl geben kann!
> Induktionsvorraussetzung: A(n) gilt !
Was soll denn $A(n)$ sein???
> Im Induktionsschritt wird gezeigt, dass es auch für jeden
> beliebigen nat. Nachfolger einer Zahl [mm]\in \IN[/mm] gilt.
> A(n+1) = [mm]\wurzel{24*(n+1)+1}[/mm] = [mm]\wurzel{24*n+25}[/mm] folgt nach
> Induktionsvorraussetzung !
Das macht meines Erachtens nach keinen Sinn.
Du sollst zeigen, dass alle Primzahlen in der Folge enthalten sind (und auch andere Zahlen, aber das spielt keine Rolle).
Ich sehe nicht, wie da ein Induktionsbeweis fruchtbar sein soll (insbesondere der hier vorgestellte).
Wie wäre es mit einem neuen Versuch?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Di 24.08.2004 | | Autor: | Fermat2k4 |
Hallo Stefan,
es sollte doch wohl mindestens einleuchten warum man bei Beweisen über Aussagen über nat. Zahlen auf Induktion zurückgreift!
Was A(n) bedeutet ? Es sagt lediglich, dass ich davon ausgehe (eben vorraussetze), dass die Aussage für das n-te Glied stimmt.
Des Weiteren geht es bei der Induktion doch um eine Verallgemeinerung (aber das brauche ich dir ja nicht zu erzählen  ) der Aussage aus einem Spezialfall heraus, hier :A(1)!!!
Es wird also von n [mm] \to [/mm] n+1 geschlossen und die Vorraussetzung angewendet !
A(n+1) sind doch offensichtlich auch Primzahlen, dies folgt doch aus der Vorraussetzung !
Gruß
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Di 24.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alex!
Es tut mir leid, aber das macht wirklich überhaupt keinen Sinn. Es geht um die ganze Folge: Über Teilfolgen kann man hier keine Aussagen treffen, daher macht eine Induktion hier keinen Sinn.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi!
Endlich Schulschluss - puh!
Ich will auch mal wieder meinen Senf dazu abgeben.
Sei [mm]p[/mm] die Primzahl, für die wir prüfen wollen, ob sie in der Folge vorkommt.
Dann soll also gelten:
[mm]\sqrt{24n+1}=p[/mm]
[mm]\gdw 24n=p^2-1[/mm]
[mm]\gdw 24n=(p+1)(p-1)[/mm]
Die rechte Seite ist durch acht teilbar, da einer der beiden Faktoren durch 2, der andere durch 4 teilbar sein muss. Da zudem [mm]p[/mm] nach Voraussetzung nicht durch [mm]3[/mm] teilbar ist, ist der Term auch durch 3 teilbar, d.h. auch durch 24. Das heißt, dass die rechte Seite ein Vielfaches von 24 ist. Für jedes dieser Vielfachen kann ein [mm]n[/mm] gefunden werden, sodass [mm]24n=(p+1)(p-1)[/mm].
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Di 24.08.2004 | | Autor: | Marc |
Lieber Hanno!
> Damit ist die Behauptung bewiesen.
Ich denke, einen schöneren Beweis gibt es nicht! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Di 24.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Danke Marc )
*freu*
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
*lol*
Ich wollte gerade eine Argumentation schreiben, dass man diesen Nachweis nicht führen kann, weil man gar nicht alle Primzahlen kennt und deswegen nicht die Formel überprüfen kann...
Naja, letztendlich hast Du die Primzahlen auch nicht benutzt, nur die Zahlen in der Umgebung, sehr schön, gefällt mir (auch, wenns kein Widerspruchsbeweis ist ;) )
greetz
AT-Colt
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