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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $\ (a_n)_{n \in \IN} $ eine reelle Zahlenfolge mit $\ a_0 > 0, \ a_3 = - 2/9 $ und $\ a_5 = -2/81 $. Die unendliche Reihe $\ \summe_{n=0}^{\infty}a_n $ sei geometrisch, d.h., es gibt $\ c, x \in \IR $ so, dass $\ \red{a_n = cx^n} $ für alle $\ \red{n \in \IN }}$ |
Hallo,
die Aufgabe ist eine Hausübung. Ich bin relativ schnell auf $\ a_n $ gekommen, als ich dann allerdings nochmal einen Blick auf die Aufgabe warf, musste ich meine Idee nochmal überdenken. Darum frag ich Euch.
Das, was mir möglicherweise einen Strich durch die Rechnung macht ist rotmarkiert.
Ich behaupte $\ (a_n)_{n \in \IN} := -2\left(\frac{-1}{3}\right)^{m-1} $ mit $\ m = 0,1,2,.... $
Dann ist
$\ a_0 = -2\left(\frac{-1}{3}\right)^{-1} = 6 > 0 $
$\ a_1 = -2\left(\frac{-1}{3}\right)^{0} = -2 $
$\ a_2 = ... $
$\ a_3 = -2\left(\frac{-1}{3}\right)^{2} = - \frac{2}{9} $
$\ a_4 = ... $
$\ a_5 = -2\left(\frac{-1}{3}\right)^{2} = - \frac{2}{81} $
Aaaber:
$\ cx^n $ mit $\ n \in \IN$
$\ c = -2, \ x = \left(\frac{-1}{3}\right) ,\ n = m-1 $ und $\ m = 0,1,2,3... $
ist für $\ m = 0 $ schon nicht mehr in $\ \IN $.
Angenommen ich definiere $\ m $ durch $\ m = 1,2,3...$ dann liegt $\ n $ zwar noch in $\ \IN $ (für den Fall dass hier die Null zu $\ \IN $ gehört), dann ist aber $\ a_0 \not> 0 $
Muss ich meinen Ansatz verwerfen?
Es reicht mir, wenn man mir sagt, dass meine Folge nicht die Gesuchte ist.
Ich will dann selbst weitergrübeln.
Danke im Voraus.
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 So 08.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $ \ (a_n)_{n \in \IN} $ eine reelle Zahlenfolge mit $ \ a_0 > 0, \ a_3 = - 2/9 $ und $ \ a_5 = -2/81 $. Die unendliche Reihe $ \ \summe_{n=0}^{\infty}a_n $ sei geometrisch, d.h., es gibt $ \ c, x \in \IR $ so, dass $ \ \red{a_n = cx^n} $ für alle $ \ \red{n \in \IN }} $ |
Hallo,
ich konnte die Aufgabe bisher leider doch nicht lösen. Es stellte sich als etwas schwieriger heraus, als ich anfangs dachte.
ich weiss mittlerweile, dass $\ a_n = 6\left(-\frac{1}{3}\right)^n $ mit $\ n \in \IN $
Zu ermitteln ist $\ \summe_{n=0}^{\infty} a_n $ und die Reihe sei geometrisch.
$\ a_n = cx^n $ mit $\ c = 6, \ x = -\frac{1}{3}, \ n = 0,1,2,3... $ erfüllt dieses Kriterium.
Nun weiss ich, dass jede unendliche geometrische Reihe $\ \summe_{n=0}^{\infty} x^n $ für alle $\ |x| < 1 $ gegen $\ \frac{1}{1-x} $ konvergiert.
Schreibe ich $\ \summe_{n=0}^{\infty} cx^n $ als $\ c*\left( \summe_{n=0}^{\infty} x^n \right) $
So ist meine Reihe:
$\ 6*\left( \summe_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \right) $ eine geometrische und sollte den Grenzwert
$\ \frac{1}{1+\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} $ haben.
Allerdings ist $\ \limes_{n\rightarrow\infty} 6\left(-\frac{1}{3}\right)^n $ divergent bzw. nicht konvergent.
Das wirft irgendwie alles ein bisschen durcheinander 
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen kann.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] konvergiert mit Grenzwert A, dann auch die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}B*a_i=B*\summe_{i=1}^{n}a_i [/mm] mit dem GW B*A
ausserdem konvergiert natürlich [mm] 6*(-1/3)^n [/mm] wie kommst du drauf, dass es das nicht tut? verwechselst du mit [mm] (6*(-1/3))^n
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 08.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leduart,
> Hallo
> Wenn die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}a_i[/mm] konvergiert mit
> Grenzwert A, dann auch die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}B*a_i=B*\summe_{i=1}^{n}a_i[/mm] mit dem GW B*A
Ja, stimmt. Natürlich. Ich vergaß, die 6, die ich aus der Summe rauszog, mit dem GW zu multiplizieren.
> ausserdem konvergiert natürlich [mm]6*(-1/3)^n[/mm] wie kommst du
> drauf, dass es das nicht tut? verwechselst du mit
> [mm](6*(-1/3))^n[/mm]
Ohja, Du hast recht. Irgendwie blieb mir bei lauter Zwischenergebnissen, die teils richtig und teils falsch waren, das falsche hängen.
Letzte Frage:
Ich weiss nun mit Hilfe des Grenzwertes der geom. Reihe, dass der GW dieser Reihe $\ 8 $ ist.
Kann ich diesen Grenzwert auch allein durch die Folge $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] 6\left(-\frac{1}{3}\right)^n [/mm] $ ermitteln?
Damit meine ich etwas ähnliches wie das Darstellen einer Folge $\ [mm] c_n [/mm] $ als Reihe $\ c_ n = [mm] c_0 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( [mm] c_k [/mm] - [mm] c_{k-1} [/mm] ) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_n [/mm] $
Kann ich also den Grenzwert der geometrischen Reihe durch den Grenzwert der Folge überprüfen/vergleichen oder haben die in erster Linie nichts mehr miteinander zu tun?
Hoffe es ist verständlich, was ich ungefähr meine.
> Gruss leduart
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur weil du den GW der geometrischen Reihe ausrechnen kannst (ich hoffe du weisst noch wie man darauf kommt?) kannst du den GW bestimmen,
Dazu musst du ja die Folgeglieder kennen. und es gibt viele Reihen, von denen man leicht zeigen kann, dass sie konvergieren, aber nicht den GW bestimmen.
den GW der geometrischen Reihe hast du ja als GW der Folge
[mm] cn=\summe_{i=1}^{n}\summe_{i=1}^{n}q^i [/mm] bestimmt.
Und wenn die Summe über die [mm] c_n [/mm] konvergieren soll muss [mm] c_n [/mm] gegen 0 konvergieren.
Du kannst daraus also nur folgern, dass der GW deiner Folge [mm] 6*(-1/3)^n [/mm] 0 ist. (aber eigentlich ist das die Vors dafür, dass die Reihe konvergiert.
Gruss leduart
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