Folge messbarer Teilmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] {A_{k}} [/mm] Folge von messbaren Teilmengen des [mm] \IR^{n} [/mm] mit [mm] \summe_{k} v(A_{k}) [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Folgern sie, dass fast alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] in höchstens endlich vielen der Mengen [mm] A_k [/mm] liegen. Betrachten Sie die Funktion f := [mm] \summe_{k} 1_{A_{k}} [/mm] |
Mein Ansatz ist, dass für alle x gilt: f(x)= [mm] \infty [/mm] , falls x in unendlich vielen [mm] A_k [/mm] und f(x) < [mm] \infty [/mm] , falls x in höchstens endlich vielen [mm] A_k. [/mm] Da [mm] \summe_{k} v(A_{k}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] folgt, dass ein l [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass für alle n [mm] \in \IN_{\ge l} [/mm] die Menge [mm] A_n [/mm] eine Nullmenge. Oder sehe ich da etwas falsch? Könnten auch die Volumen der [mm] A_k [/mm] einfach gegen 0 laufen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Fr 11.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Man kann schlecht antworten, wenn man nicht gesagt bekommt, was [mm] \nu [/mm] ist !
Ist das ein Maß ? ein Inhalt ? .... ?
Aus $ [mm] \summe_{k} v(A_{k}) [/mm] $ < $ [mm] \infty [/mm] $ folgt jedenfalls: [mm] v(A_{k}) \to [/mm] 0.
FRED
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v ist das Maß, das Volumenmaß.
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Nach Voraussetzung konvergiert [mm] A_k [/mm] gegen eine Nullmenge A := [mm] \lim_{k \to \infty}A_k. [/mm] Für jedes x [mm] \in \IR^n [/mm] gilt dann:
x [mm] \in [/mm] A => x ist in einer Nullmenge
x [mm] \not \in [/mm] A => x ist in endlich vielen [mm] A_k
[/mm]
Damit sind fast alle x in nur endlich vielen [mm] A_k [/mm] enthalten.
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