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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Fr 29.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo.
Zum Beweis das \sum_{n}a_n absolut konvergiert, falls \alpha < 1 mit $\alpha :=lim sup_{\alpha\rightarrow \infty} \wurzel[n]{|a_n|}$
Die ersten paar Zeilen haben wir in der Vorlesung so gemacht, dass...
q\in (\alpha,1) und $\varepsilon := q-\alpha >0$
$\alpha=lim sup\wurzel[n]{|a_n|}=inf_{n \ge m}} [sup_{k \ge n} \wurzel[k]{|a_n|}$
(Mal abgesehen davon, dass ich hier nicht weiss, waurm da auf einmal n größer gleich m steht und die folge a_n bleibt und nicht a_k??)
$\sigma_{n}:=[sup_{k \ge n} \wurzel[k]{|a_n|}$
Wir haben hieraus geschlussfolgert, dass die Folge (\sigma_{n})_n monoton fallend ist.
??
Wieso das denn? Also Wurzelfunktionen sind doch immer monoton steigend. Jetzt haben wir eine Reihe und das Supremum davon - aber wie kann ich nachweisen, dass das monoton fallend ist?
Es muss vermutlich gelten a_n > a_{n+1}.
Aber ein Beweis mit Supremum fällt mir nicht ein.
Grüße
Johann
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Hallo,
> Hallo.
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> Zum Beweis das [mm]\sum_{n}a_n[/mm] absolut konvergiert, falls
> [mm]\alpha[/mm] < 1 mit [mm]\alpha :=lim sup_{\alpha\rightarrow \infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
>
> Die ersten paar Zeilen haben wir in der Vorlesung so
> gemacht, dass...
>
> [mm]q\in (\alpha,1)[/mm] und [mm]\varepsilon := q-\alpha >0[/mm]
>
> [mm]\alpha=lim sup\wurzel[n]{|a_n|}=inf_{n \ge m}} [sup_{k \ge n} \wurzel[k]{|a_n|}[/mm]
>
> (Mal abgesehen davon, dass ich hier nicht weiss, waurm da
> auf einmal n größer gleich m steht und die folge [mm]a_n[/mm] bleibt
> und nicht [mm]a_k??)[/mm]
>
das kommt mir allerdings auch spanisch vor. wenn man der üblichen definition von [mm] $\lim\sup$ [/mm] folgt, müsste da in der tat [mm] $a_k$ [/mm] statt [mm] $a_n$ [/mm] stehen.
> [mm]\sigma_{n}:=[sup_{k \ge n} \wurzel[k]{|a_n|}[/mm]
ich denke, das sollte eigentlich
[mm] $\sigma_{n}:=[sup_{k \ge n} \wurzel[k]{|a_k|}$
[/mm]
heißen.
> Wir haben hieraus geschlussfolgert, dass die Folge
> [mm](\sigma_{n})_n[/mm] monoton fallend ist.
>
> ??
> Wieso das denn?
zumindest, wenn [mm] $\sigma_n$ [/mm] so definiert ist, wie ich denke, ist es logisch. je größer n wird, desto 'kleiner' wird die Menge, über die das supremum gebildet wird. es kann also höchstens kleiner werden.
>Also Wurzelfunktionen sind doch immer
> monoton steigend. Jetzt haben wir eine Reihe und das
> Supremum davon - aber wie kann ich nachweisen, dass das
> monoton fallend ist?
>
> Es muss vermutlich gelten [mm]a_n[/mm] > [mm]a_{n+1}.[/mm]
>
> Aber ein Beweis mit Supremum fällt mir nicht ein.
>
> Grüße
> Johann
>
>
gruß
matthias
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