Folge rekursiv/Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Durch Angabe [mm] a_1 \in \IR [/mm] und durch
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n/2 [/mm] + 3
wird eine folge rekursiv definiert. Beweise die Konvergenz |
Kandidat für Grenzwert ist a=6
[mm] |a_{n+1} [/mm] -6| = [mm] |a_n/2 [/mm] + 3-6| = [mm] |\frac{a_n-6}{2}|
[/mm]
Wie gehe ich nun weiter vor'?
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Huhu,
die Aufgabe kannst du auf mehreren Wegen lösen:
1.) zeige, dass die so definierte Folge monoton und beschränkt ist.
Was folgt dann daraus?
Für die Monotonie wirst du eine Fallunterscheidung in Abhängigkeit vom Startwert a brauchen.
Um die Fallunterscheidung heraus zu finden, versuch mal ein paar Startwerte $a [mm] \in \IR$ [/mm] aus und schau, was mit der Folge passiert.
2.) Du zeigst, dass die gegebene Folge die Darstellung [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{c-6}{2^n} [/mm] + 6$ hat und berechnest dann den Grenzwert.
Empfehlen würde ich dir den ersten Weg, auch wenn der zweite einfacher aussieht. In einer möglichen Klausur würdest du aber Probleme haben eine explizite Darstellung der Folge selbst herauszufinden.
Zur Übung kannst du den 2.) Weg allerdings zusätzlich machen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
> 1.) zeige, dass die so definierte Folge monoton und beschränkt ist.
Was folgt dann daraus?
Cauchyfolge.
Jede Cauchyfolge ist konvergent.
wenn [mm] a_1 [/mm] =1
[mm] a_2= [/mm] 1/2+6/2=7/2= 3 1/2
[mm] a_3 [/mm] = 4 3/4
wenn [mm] a_1=2
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = 4
[mm] a_3=5
[/mm]
[mm] a_4=5 [/mm] 1/2
wenn [mm] a_1 [/mm] =3
[mm] a_2= [/mm] 4 1/2
[mm] a_3= [/mm] 5 1/4
Vermutung auf wachsend
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] < [mm] a_n/2 [/mm] +3
[mm] a_n [/mm] - [mm] a_n/2 [/mm] <3
[mm] a_n/2 [/mm] <3
Ich steh etwas auf der leitung . wie ich das weiter mache
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
[mm] a_1=100
[/mm]
[mm] a_2= [/mm] 53
[mm] a_3=29 [/mm] 1/2
[mm] a_4= [/mm] 17 3/4
->fallend
[mm] a_1= [/mm] 6
[mm] a_2 [/mm] = 6/2 +3 = 6 ...
[mm] a_1=7
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = 7/2 + 3 = 6 1/2
->fallend
Also unsere magische Grenze ist 6, was wir auch in Monotonie zeigten.
> Also: Zeige die Beschränktheit.
Ich weiß nicht wie ich hier die Schranken wählen kann.
Ist eine Schranke nun 6, da es der Grenzwert ist, falls der Grenzwret existiert.
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Hiho,
> Also unsere magische Grenze ist 6, was wir auch in
> Monotonie zeigten.
naja, das wäre dann zu zeigen.
Also halten wir fest:
Fall 1: Für [mm] $a_1 \le [/mm] 6$ ist unsere Folge nach OBEN durch 6 beschränkt und monoton wachsend.
Fall 2: Für [mm] $a_1 \ge [/mm] 6$ ist unsere Folge nach UNTEN durch 6 beschränkt und monoton fallend.
> > Also: Zeige die Beschränktheit.
> Ich weiß nicht wie ich hier die Schranken wählen kann.
> Ist eine Schranke nun 6, da es der Grenzwert ist, falls
> der Grenzwret existiert.
So siehts aus. Im ersten Fall musst du nun also zeigen [mm] $a_n \le [/mm] 6$, im zweiten analog [mm] $a_n \ge [/mm] 6$. Tipp: Induktion.
Na dann los 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
1 Fall
I.Anfang : Voraussetzung
Annahme: [mm] a_n \le [/mm] 6
ZZ: [mm] a_{n+1} \le [/mm] 6
I.Schritt
[mm] a_n/2 [/mm] +3 [mm] \le [/mm] 6
[mm] a_n/2 \le [/mm] 3
[mm] a_n \le [/mm] 6 -> was laut Annahme korrekt ist
2Fall
I.Anfang : Vorrausetzung
Annahme: [mm] a_n \ge [/mm] 6
ZZ: [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 6
I.Schritt
[mm] a_n/2 [/mm] +3 [mm] \ge [/mm] 6
[mm] a_n/2 \ge [/mm] 3
[mm] a_n \ge [/mm] 6 -> was laut Annahme korrekt ist
Wie mache ich den am besten weiter?
Ganz liebe Grüße
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Hiho,
> 1 Fall
> I.Anfang : Voraussetzung
> Annahme: [mm]a_n \le[/mm] 6
> ZZ: [mm]a_{n+1} \le[/mm] 6
> I.Schritt
> [mm]a_n/2[/mm] +3 [mm]\le[/mm] 6
> [mm]a_n/2 \le[/mm] 3
> [mm]a_n \le[/mm] 6 -> was laut Annahme korrekt ist
>
> 2Fall
> I.Anfang : Vorrausetzung
> Annahme: [mm]a_n \ge[/mm] 6
> ZZ: [mm]a_{n+1} \ge[/mm] 6
> I.Schritt
> [mm]a_n/2[/mm] +3 [mm]\ge[/mm] 6
> [mm]a_n/2 \ge[/mm] 3
> [mm]a_n \ge[/mm] 6 -> was laut Annahme korrekt ist
>
> Wie mache ich den am besten weiter?
naja, nun hast du gezeigt mit Induktion, dass [mm] $a_{n+1} \le [/mm] 6$, falls [mm] $a_n \le [/mm] 6$.
Gilt denn nun [mm] $a_n \le [/mm] 6$ auch für alle n ??
Wo ist dein Induktionsanfang?
Danach weiter mit Monotonie und dann hast du die Konvergenz ja schon.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 18.01.2012 | | Autor: | sissile |
> Fall 1: Für $ [mm] a_1 \le [/mm] 6 $ ist unsere Folge nach OBEN durch 6 beschränkt und monoton wachsend.
> Fall 2: Für $ [mm] a_1 \ge [/mm] 6 $ ist unsere Folge nach UNTEN durch 6 beschränkt und monoton fallend.
Das hast du letzten Post aufgeschrieben und das ist ja genau der Induktionsanfang. So haben wir ja die zwei Fälle konstruiert.
> Danach weiter mit Monotonie und dann hast du die Konvergenz ja schon.
Aber die Monotonie hatten wir doch schon ?
1 Fall
$ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
$ [mm] a_n [/mm] $ < $ [mm] a_n/2 [/mm] $ +3
$ [mm] a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n/2 [/mm] $ <3
$ [mm] a_n/2 [/mm] $ < 3
[mm] a_n [/mm] < 6
2Fall
$ [mm] a_n [/mm] $ > $ [mm] a_{n+1} [/mm] $
$ [mm] a_n [/mm] $ > $ [mm] a_n/2 [/mm] $ +3
$ [mm] a_n [/mm] $ - $ [mm] a_n/2 [/mm] $ > 3
$ [mm] a_n/2 [/mm] $ > 3
[mm] a_n [/mm] > 6
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> > Fall 1: Für [mm]a_1 \le 6[/mm] ist unsere Folge nach OBEN durch 6
> beschränkt und monoton wachsend.
> > Fall 2: Für [mm]a_1 \ge 6[/mm] ist unsere Folge nach UNTEN durch
> 6 beschränkt und monoton fallend.
> Das hast du letzten Post aufgeschrieben und das ist ja
> genau der Induktionsanfang. So haben wir ja die zwei Fälle
> konstruiert.
Wenn dir das klar ist, ist ja alles gut
Denk dann beim schön Aufschreiben nur dran, es nochmal zu vermerken.
> > Danach weiter mit Monotonie und dann hast du die Konvergenz
> ja schon.
> Aber die Monotonie hatten wir doch schon ?
Ja, aber auch hier zum schön aufschreiben: Ich würde ERST die Beschränktheit machen und DANN die Monotonie (weil du für die Monotonie ja die Beschränktheit benötigst).
So, jetzt weißt du, dass die Folge in allen Fällen konvergiert, wie berechnet man nun den Grenzwert?
MFG;
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Do 19.01.2012 | | Autor: | sissile |
okay danke, jetzt hab ich es
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