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Folge von Treppenfunktionen: Konstruktion+Formel für PI
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:18 Sa 01.08.2009
Autor: Rubstudent88

Aufgabe
Konstruiere eine Folge von Treppenfunktionen auf [-1,1], die in der sup-Norm gegen [mm] f(x)=\wurzel{1-x^{2}} [/mm] konvergiert, und leite daraus eine Formel für PI her.

Guten Morgen liebes Matheforum.net,

ich habe ein größeres Problem mit der oben stehenden Aufgabe, die im Zusammenhang mit der Supremumsnorm, mit Regelfunktionen und mit dem Intergral einer stetigen Funktion (f [mm] \varepsilon [/mm] R([a,b]): [mm] \integral {f}:=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral {C_{n}} [/mm] , wobei [mm] C_{n}Folge [/mm] von Treppenfunktionen, für die gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||C_{n}-f||=0) [/mm] steht.

Nur leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen muss und wie auf eine Folge von Treppenfunktionen überhaupt im Allgemeinen komme.
Eine Funktion C: [mm] [a,b]-->\IR [/mm] heißt Treppenfunktion, falls eine Unterteilung [mm] a=x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n}=b [/mm] existiert, so dass C auf jedem offenen Teilintervall [mm] (x_{k-1}, x_{k}) [/mm] konstant ist. Nur irgendwie hilft es mir nicht weiter bzgl. einer Folge von Treppenfunktion.

Ich vermute, man muss hier mit der eulerischen Formel bzw. mit [mm] 1=cos(x)^{2}+sin(x)^{2} [/mm] hantieren muss. Nur wie gesagt ich weiß nicht wirklich wie. Deswegen wäre ich um jede Hilfe dankbar!

Mit freundlichen Grüßen

rubstudent88

        
Bezug
Folge von Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 Sa 01.08.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Konstruiere eine Folge von Treppenfunktionen auf [-1,1],
> die in der sup-Norm gegen [mm]f(x)=\wurzel{1-x^{2}}[/mm]
> konvergiert, und leite daraus eine Formel für PI her.
>  
> Guten Morgen liebes Matheforum.net,
>  
> ich habe ein größeres Problem mit der oben stehenden
> Aufgabe, die im Zusammenhang mit der Supremumsnorm, mit
> Regelfunktionen und mit dem Intergral einer stetigen
> Funktion (f [mm]\varepsilon[/mm] R([a,b]): [mm]\integral {f}:=\limes_{n\rightarrow\infty} \integral {C_{n}}[/mm]
> , wobei [mm]C_{n}Folge[/mm] von Treppenfunktionen, für die gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||C_{n}-f||=0)[/mm] steht.
>  
> Nur leider weiß ich überhaupt nicht, wie ich da vorgehen
> muss und wie auf eine Folge von Treppenfunktionen
> überhaupt im Allgemeinen komme.
>  Eine Funktion C: [mm][a,b]-->\IR[/mm] heißt Treppenfunktion, falls
> eine Unterteilung [mm]a=x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}=b[/mm]
> existiert, so dass C auf jedem offenen Teilintervall
> [mm](x_{k-1}, x_{k})[/mm] konstant ist. Nur irgendwie hilft es mir
> nicht weiter bzgl. einer Folge von Treppenfunktion.

Nun, hier darfst du deiner Fantasie freien Lauf lassen...

> Ich vermute, man muss hier mit der eulerischen Formel bzw.
> mit [mm]1=cos(x)^{2}+sin(x)^{2}[/mm] hantieren muss. Nur wie gesagt
> ich weiß nicht wirklich wie. Deswegen wäre ich um jede

Nein, die eulersche Formel brauchst du nicht. Um eine Formel fuer [mm] $\pi$ [/mm] zu finden, beachte [mm] $\pi [/mm] = 2 [mm] \int_{-1}^1 \sqrt{1 - x^2} [/mm] dx$.

LG Felix


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