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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Mi 17.02.2016 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR $\rightarrow$ \IR [/mm] differenzierbar und für die Ableitung [mm] |f'(\xi)|\le\bruch{1}{2} [/mm] für alle [mm] \xi\in \IR. [/mm] Die Folge [mm] (x_n)_{n \in\IN} [/mm] sei definiert durch ein beliebiges [mm] x_0 \in \IR [/mm] und [mm] x_{n+1}=f(x_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Bereits gezeigt und damit verwendbar:
[mm] |x_{n+1}-x_n|\le \bruch{1}{2^n}|x_1-x_0|
[/mm]
Zeigen sie:
[mm] |x_n [/mm] - [mm] x_0|\le2|x_1-x_0| [/mm] für alle [mm] n\in \IN. [/mm] |
Das ganze wird mittels Induktion gelöst, wie man aus der Fragestellung schon raushört.
Für n=0 und n=1 ist der I.A. schnell gemacht.
Bei dem Induktionsschritt verstehe ich folgenden Schritt nicht:
Für [mm] n\ge [/mm] 2 gilt:
[mm] |x_n-x_0|=|(x_n-x_{n-1})+\ldots+(x_1-x_0)|
[/mm]
Die [mm] x_n [/mm] sind doch Folgeglieder. Wie kommt man dazu, die Differenzen zu bilden? Mir wird die Gleichheit der beiden Terme nicht klar. Könnte mir das einer von euch näherbringen, wie man auf diese Differenzbildung kommt?
Danke für die Unterstützung und die Zeit!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mi 17.02.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In dem Schritt werden "nahrhafte Nullen" eingefügt, die ja an dem Wert der Differenz nichts verändern.
Also:
[mm] |x_{n}-x_{0}|
[/mm]
[mm] =|x_{n}\underbrace{-x_{n-1}+x_{n-1}}_{=0}\underbrace{-x_{n-2}+x_{n-2}}_{=0}\ldots\underbrace{-x_{1}+x_{1}}_{=0}-x_{0}|
[/mm]
[mm] =|(x_{n}-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\ldots+(x_{2}-x_{1})+(x_{1}-x_{0})|
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Mi 17.02.2016 | | Autor: | SoWhat |
Danke!
Auf diesen Lösungsansatz wäre ich niemals gekommen... nun "gut"...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 17.02.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Danke!
> Auf diesen Lösungsansatz wäre ich niemals gekommen...
> nun "gut"...
Warum nicht?
Sie ist, ausnahmsweise, sogar recht naheliegend.
Du hast nur Informationen darüber, wie du die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder abschätzen kannst.
Nun möchtest du eine beliebe Differenz abschätzen.
Daher ist es naheliegend zu versuchen, diese "beliebige Differenz" irgendwie als "Differenzen benachbarter Folgeglieder" darzustellen.
Und genau das wird getan.
Gruß,
Gono.
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