Folgen-arithmetisch od geometr < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 12.07.2005 | | Autor: | akr |
Hallo,
langsam bin ich am Verzweifeln...!
Kann mir jemand sagen, wie man bei Folgen begruendet, ob sie arithmetisch oder geometrisch ist? [mm] a_{n+1}- a_{n}=d [/mm] --> arithmetisch und
[mm] a_{n+1} [/mm]
= q
[mm] a_{n} [/mm] --> geometrisch
ist mir ja klar, aber wie mache ich das praktisch? Und was bedeutet [mm] a_{1}=1? [/mm] Dass man bei 1 mit Einsetzen anfaengt oder dass das Ergebnis von 1 gleich 1 ist?
1
[mm] a_{n+1}= [/mm] [mm] a_{n}
[/mm]
n [mm] \varepsilon [/mm] N, [mm] a_{1}=1 [/mm]
muss ich hier erst nach [mm] a_{n} [/mm] umformen, wenn gefragt ist, ob die Folge [mm] {a_{n} } [/mm] geometrisch oder arithmetisch ist?
Ist es richtig, dass
[mm] 2(-1)^{2n} [/mm]
[mm] a_{n}= [/mm]
[mm] 4^{n}
[/mm]
nicht arithmetisch, aber geometrisch ist?
Und ist fuer
[mm] a_{n+1}=a_{n} [/mm] ; n [mm] \varepsilon [/mm] N; [mm] a_{1}=1 [/mm] (was heisst das denn nur???)
arithmetisch und nicht geometrisch richtig?
Kann eine Folge eigentlich auch beides sein?
Fuer eine baldige Antwort waere ich (wie immer  ) sehr dankbar. Bin langsam echt am Verzweifeln!
Liebe Gruesse von Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Di 12.07.2005 | | Autor: | matrinx |
Hallo Alex,
ich kann erstmal ein paar kleine Unklarheiten beseitigen (hoff ich zumindest)
> Und was bedeutet [mm]a_{1}=1?[/mm] Dass man bei 1 mit Einsetzen anfaengt
> oder dass das Ergebnis von 1 gleich 1 ist?
[mm] a_{1}=1 [/mm] heisst für rekursiv definierte folgen, also zB [mm] a_{n+1}= \bruch{1}{n}*a_{n} [/mm] dass Deine Folge mit [mm] a_{1}=1 [/mm] startet und du daraus die nächsten Folgenglieder berechnen kannst [mm] (a_{2}= \bruch{1}{1}*a_{1}=1, a_{3}= \bruch{1}{2}*a_{2}=\bruch{1}{2},...)
[/mm]
> Und ist fuer
> [mm]a_{n+1}=a_{n}[/mm] ; n [mm]\varepsilon[/mm] N; [mm]a_{1}=1[/mm] (was heisst das
> denn nur???)
> arithmetisch und nicht geometrisch richtig?
[mm] a_{n+1}=a_{n} [/mm] mit [mm] a_{1}=1 [/mm] heisst dass alle Folgenglieder [mm] a_{n}=1 [/mm] sind und das wars auch schon...also etwa [mm] (a_{n})_{n\in \IN}=(1,1,1,1,...,1) [/mm] und damit ist [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}-a_{n}=0, [/mm] müsste eigentlich demnach sowohl geometrische als auch arithmetische Folge sein.
Einen noch: Geometrische Folgen heissen "geometrisch" weil jedes Folgenglied das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder ist, arithmetische Folgen heissen "arithmetisch", da jedes Folgenglied das arithemtische Mittel seiner Nachbarglieder ist.
Und vielleicht helfen Dir auch die allgemeine Definitionrn weiter:
geometrische Folgen sind immer von der Gestalt [mm] (a,a*q,a*q^{2},a*q^{3}...)
[/mm]
arithemtische Folgen sind immer von der Gestalt [mm](b,b+d,b+2d,b+3d,...)[/mm]
> Liebe Gruesse von Alex
und zurück
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Hallo.
Also [mm] a_1=1 [/mm] heißt schlicht und ergreifend, daß der Wert der Folge [mm] (a_n) [/mm] für n=1 eben 1 ist.
Man sollte der Vollständigkeit halber auch noch bemerken, daß es Folgen gibt (das ist sogar die Mehrzahl!) die weder geometrisch noch arithmetisch sind,
so zum Beispiel auch die Folge [mm] a_n:=\frac{1}{n}, [/mm] denn:
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1},
[/mm]
weiter ist [mm] a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)},
[/mm]
beides ist offensichtlich nicht konstant, also ist die Folge weder arithmetisch noch geometrisch.
Gruß,
Christian
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