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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 Do 25.05.2006 | | Autor: | Maths |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge ( [mm] a_{n})_{n \ge 1} [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{2n+1}
[/mm]
a) Vermutung über Konvergenzverhalten und Grenzwert der Folge ( [mm] a_{n})_{n \ge 1} [/mm]
b) Bestimmen sie ein [mm] n_{0}, [/mm] so dass sich [mm] a_{n} [/mm] für {n [mm] \ge n_{0} [/mm] } um weniger als [mm] \varepsilon [/mm] = 0,01 vom grenzwert unterscheidet.
c) Beweis anhand der Def. die Konvergenz der Folge ( [mm] a_{n})_{n \ge 1} [/mm] |
hallo
Ich hab mal wieder ein grosses Fragezeichen auf der stirn.
hoffe das mir hier jemand helfen kann.
A) ist glaube soweit klar. meiner meinung nach is die folge beschränkt und divergent. und hat den grenzwert von 1,2. ISt das richtig?
b und c) hier weiss ich nicht weiter. wie fange ich am betsen an?
muss ich setzen:
1+ [mm] \bruch{(-1)^n}{2n+1}= \varepsilon [/mm] + 1,2
danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Do 25.05.2006 | | Autor: | Frank26 |
Hallo Stefanie,
> A) ist glaube soweit klar. meiner meinung nach is die folge
> beschränkt und divergent. und hat den grenzwert von 1,2.
> ISt das richtig?
hier verstehe ich deine Aussage nicht ganz wie kann die Folge divergent sein und dann trotzdem einen Grenzwert haben. Die Folge konvergiert und zwar gegen 1. Wie kommst du auf 1,2?
zu b) Du musst also Abschätzen:
[mm] |1-a_n|=|1-1+\bruch{(-1)^n}{2n+1}|=|\bruch{1}{2n+1}|\le\bruch{1}{n}.
[/mm]
Wähle also [mm] n_0=101, [/mm] dann gilt für alle n [mm] \ge n_0:
[/mm]
[mm] |1-a_n|\le\bruch{1}{n}\le \bruch{1}{n_0}\le [/mm] 0,01.
zu c) Um die Konvergenz mit der Definition zu zeigen, kannst du wieder die Abschätzung aus b) benutzen. Sei also [mm] \epsilon>0. [/mm] Setze [mm] n_0\ge\bruch{1}{\epsilon}. [/mm] Dann gilt für alle n [mm] \ge n_0:
[/mm]
[mm] |1-a_n|\le\bruch{1}{n}\le\bruch{1}{n_0}\le \epsilon.
[/mm]
Gruß
Frank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 28.05.2006 | | Autor: | Maths |
hab noch ne frage zu a)
müsste nicht [mm] n_{0} [/mm] = 100 sein?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 28.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maths!
> hab noch ne frage zu a)
Du meinst b.), oder?
> müsste nicht [mm]n_{0}[/mm] = 100 sein?!?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die zu lösende Ungleichung lautet:
[mm] $\left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$
[/mm]
[mm] $\left| \ 1+\bruch{(-1)^n}{2n+1} - 1 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{(-1)^n}{2n+1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{2n+1} \ < \ \bruch{1}{100}}$
[/mm]
Dies liefert mir: [mm] $n_0 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 50$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 28.05.2006 | | Autor: | Maths |
ja genau ich meinte b)
ist [mm] n_{0} [/mm] nun nicht 49,5?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 28.05.2006 | | Autor: | Teufel |
Folgen sind ja so definiert, dass die n nur natürliche Zahlen sein können, also trifft es die 50 eher :)
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