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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Do 17.01.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Man untersuche die Folge [mm] a_n [/mm] (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzewerte den Grenzwert lim_an:
[mm] (a_0) [/mm] = 3, [mm] a_n_+_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2a_n - 1} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0 |
die Folge müßte streng monoton wachsend sein
der untere Grenzwert und die untere Schranke [mm] \wurzel{2}
[/mm]
ich verstehe in dem Zusammenhang nicht genau, was ich mit der vollständigen Induktion hier anfangen soll
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Hallo Barbara,
> Man untersuche die Folge [mm]a_n[/mm] (mit Hilfe vollständiger
> Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme
> gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für
> Grenzewerte den Grenzwert lim_an:
>
> [mm](a_0)[/mm] = 3, [mm]a_n_+_1[/mm] = [mm]\wurzel{2a_n - 1}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] 0
> die Folge müßte streng monoton wachsend sein ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hä? Vertippt? Was hast du denn für zB [mm] a_1 [/mm] heraus??
Die Folge ist doch wohl fallend... 
>
> der untere Grenzwert und die untere Schranke [mm]\wurzel{2}[/mm]
Huch? Wie kommst du auf diese Schranke? Berechne doch mal die ersten - sagen wir 10 Folgenglieder mit dem TR
Ich denke, du solltest zuerst mal zeigen, dass die Folge durch 1 nach unten beschränkt ist.
Da kommt die vollst. Induktion ins Spiel
Danach zeige, dass sie monoton fallend ist. Das geht auch ohne Induktion in 3 Zeilen, wenn du die Beschränktheit verwendest
>
> ich verstehe in dem Zusammenhang nicht genau, was ich mit
> der vollständigen Induktion hier anfangen soll
Brauchst du für die Beschränktheit: zz: [mm] $\forall n\in\IN [/mm] : [mm] a_n\ge [/mm] 1$
Wenn du Monotonie und Beschränktheit hast, weißt du, dass die Folge konvergent ist, also kannst du den GW berechnen.
Setze dazu [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$ [/mm] und löse nach $a$ auf
Gruß
schachuzipus
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