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Hallo
Die Übungsaufgabe [mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n}+ \bruch {2}{x_{n}})
[/mm]
1. Schritt Glieder bestimmt.
[mm] x_{1}=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{17}{12}
[/mm]
[mm] x_{3}=\bruch{577}{408}
[/mm]
[mm] x_{4}=\bruch{665857}{470832}
[/mm]
[mm] x_{5}=\bruch{886731088897}{627013566048}
[/mm]
Ich habe die Brüche ausgerechnet und gesehen, das diese Werte immer kleiner werden [mm] \Rightarrow: [/mm] diese Folge ist erstmal monoton fallend. Mit dieser Aussage darf man doch auch gleich sagen das diese Folge konvergent ist.
° Grenzwert
Ich habe nach der Rexhnung aus anderen Thread
den Grenzwert [mm] \pm \wurzel{2} [/mm] bestimmt.
Mir ist nun auch bekannt, das man damit nicht weiss ob
es wirklich der Grenzwert ist.
Jetzt meine Bitte. Ist die Vorgehensweise bis hierhin richtig. Und kann mir jemand zeigen, wie ich die Aussage mit dem Grenzwert belegen kann. Oder zeigen kannd das der nicht existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Den Grenzwert habe ich so berechnet.
[mm] x_{n}=\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})\Rightarrow x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{2}{x})\Rightarrow 2x=x+\bruch{2}{x}|-x\Rightarrow x=\bruch{2}{x}|*x\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm \wurzel{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Mo 02.03.2009 | | Autor: | XPatrickX |
> Hallo
>
> Den Grenzwert habe ich so berechnet.
>
> [mm]x_{\red{n+1}}=\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})\Rightarrow x=\bruch{1}{2}(x+\bruch{2}{x})\Rightarrow 2x=x+\bruch{2}{x}|-x\Rightarrow x=\bruch{2}{x}|*x\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm \wurzel{2}[/mm]
>
Ein Grenzwert - falls existent - ist immer eindeutig! [mm] \pm\wurzel{2} [/mm] ist hingegen nicht eindeutig!
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Diese Gleichung hat doch 2 Lösungen. Wenn das eindeutig sein muss, dann kann man jetzt schon sagen das die Folge kein Grenzwert besitz.
Oder wie darf ich das verstehen
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> Diese Gleichung hat doch 2 Lösungen. Wenn das eindeutig
> sein muss, dann kann man jetzt schon sagen das die Folge
> kein Grenzwert besitz.
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> Oder wie darf ich das verstehen
Hallo,
Deine Rechnung ist schon in Ordnung.
Sie sagt Dir: falls(!) es einen Grenzwert gibt, dann ist es einer von diesen beiden.
Um nachzuweisen, daß es einen Grenzwert gibt, kannst Du Dich wie erwähnt hier des Satzes bedienen, der sagt: wenn die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, dann ist sie konvergent.
Sowohl die Monotonie als auch die Beschränktheit müssen nun allgemein bewiesen werden. Der Augenschein reicht nicht.
EDIT: Ich will dies noch ein wenig ergänzen, damit Du anfangen kannst damti.
Fahrplan:
1. Zeige zunächst durch vollständige Induktion, daß sämtliche Folgenglieder >0 sind, daß also [mm] x_n>0 [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
2. Zeige, daß [mm] x_n^2\ge [/mm] 2 ist für alle [mm] n\in \IN. [/mm] Berechne hierfür [mm] x_n^2 [/mm] -2 und weise nach, daß es [mm] \ge [/mm] 0 ist.
3. Aus 2. kannst Du folgern, daß [mm] x_n [/mm] nach unten durch [mm] \wurzel{2} [/mm] beschränkt ist.
4. Zeige, daß die Folge monoton fällt, daß also [mm] x_{n+1}\le x_n [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] gilt.
Berechne hierfür [mm] x_n [/mm] - [mm] x_{n+1} [/mm] und zeige, daß dies [mm] \ge [/mm] 0 ist. Hierfür kannst Du 1. und 2. verwenden.
5. Folgere aus der Monotonie und beschränktheit die Konvergenz.
6. Begründe, warum der Grenzwert [mm] \wurzel{2} [/mm] oder [mm] -\wurzel{2} [/mm] sein muß.
7. Gib mit Begründung an, welcher von beiden Werten es ist.
Beginne bei Punkt 1. und arbeite der Reihe nach.
Rückfragen bitte jeweils nur zu einem der Punkte unter Angabe der Nr. im Betreff, damit kein Chaos entsteht.
Gruß v. Angela
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Die Monotoni nachzuweisen
[mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(x_{n+1}+\bruch{2}{x_{n+1}}) [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})
[/mm]
Kann mir jemand weiter helfen. entschuldigung das ich nur so wenig gemacht habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:04 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Beh. ist so schlecht.
du willst zeigen: [mm] x_{n+1}
Schreib immer wirklich hin, was du zeigen willst.
das ist gleich der Behauptung
$ [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})
[mm] <=>$x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}<2x_n$
[/mm]
[mm] <=>$\bruch{2}{x_{n}}
[mm] <=>2
jeden dieser Schritte kannst du fuer [mm] x_n>0 [/mm] auch rueckwaerts gehen.
Schon angela hat dir gesagt, dass du zuerst zeigen musst,
dass [mm] x_n^2>2 [/mm] gilt, wenigstens fuer alle n ausser dem ersten. (weil du ja einen Startwert <2 nehmen kannst.
also zeig jetzt diesen Teil selbst.
dass [mm] a_n>0, [/mm] wenn der Startwert groesser 0 ist fast selbverstaendlich.
Gruss leduart
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> Die Monotoni nachzuweisen
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> [mm]a_{n+1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm]
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> [mm]\bruch{1}{2}(x_{n+1}+\bruch{2}{x_{n+1}})[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})[/mm]
>
> Kann mir jemand weiter helfen. entschuldigung das ich nur
> so wenig gemacht habe. ht egal ist mir
Hallo,
wie viel oder wie wenig Du machst, ist mir völlig egal.
Nicht egal ist mir, daß ich alles, was zu tun ist, sehr kleinschrittig und fortlaufend numeriert aufgeschrieben habe, was durchaus etwas Mühe macht,
und Du erstens trotzdem einfach irgendwo beginnst
und zweitens es nicht hinbekommst, die vorgegebene Numerierung einzuhalten.
Es dient doch all das dem Kampf gegen das Chaos!
Die Reihenfolge, die ich Dir gesagt habe, hat doch einen Grund: es alles in winzigste Häppchen geschnitten, damit Du endlich mal a)halbwegs geordnet b) weitgehend selbständig c) am Ziel ankommst.
Wenn Du Dir den Text durchgelesen hast, dann hast Du doch auch gesehen, daß für die Monotonie Vorarbeiten nötig sind.
Warum fängst Du trotzdem dort an? Ich kapier's nicht.
Oh, oh, oh, welch ein Erwachen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Di 03.03.2009 | | Autor: | Christopf |
Hallo
Ich habe bei Punkt 1 angefangen. Was ist daran falsche? Wir sind an den Punkt angelangt warum ich das Thema ins Netz gestellt habe. Das sind die Punkte , die ich bei der anderen aufgabe nicht aus faulheit ignoriert habe sondern Probleme. habe
Deswegen habe ich mehrmals schon die bitte formuliert ob mir die Beweisführung gezeigt werden kann.
Ich bin dankbear für deine schritte trotzdem weis ich nicht so richtig bescheid. Entschuldigung
Ich wäre dankbar wenn mir das gezeigt wird und ich dann die vorgehens weise durch Rückfragen zu verstehen lerne.
Ich kann nur bitte. Ich kenne meine Probleme. wie gesagt das sind die Grunde warum ich hir poste.
Trotzdem danke
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> Hallo
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> Ich habe bei Punkt 1 angefangen.
Hallo,
nein, bei Nr. 4.
Aber gut, ich gehe also davon aus, daß Du 1., 2., 3. bereits gezeigt hattest und Deine Probleme erst bei Nr. 4. begannen.
> Ich wäre dankbar wenn mir das gezeigt wird
Das hat leduart ja nun bereits getan, wenn auch geringfügig als ich es vorgeschlagen hatte.
Wenn Du das durchgearbeitet und richtig herum aufgeschrieben hast, hast Du die Monotonie.
Damit ist an echter Rechenarbeit ja alles erledigt, schließt sich nur noch der Rest an, welcher zwar hochgradig wichtig, jedoch nicht beschwerlich ist.
Gruß v. Angela
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HNallo
Angela du hast recht sorry. Ich habe nicht mit absicht bei Punkt angefange. Kannst du mir Bitte zeigen was bei den anderen 3 Punkte hätte machen müssen.
auch wenn du das gestückt in Punkte hast verstehe ich nicht wo ich was mache. Kannst du mir das zeigen Bitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo Christopf
Angelas Punkte:
1. Zeige zunächst durch vollständige Induktion, daß sämtliche Folgenglieder >0 sind, daß also $ [mm] x_n>0 [/mm] $ für alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt.
1. [mm] a_0>0 [/mm] ist gegeben. mit [mm] a_0=1
[/mm]
2.Induktionsannahme [mm] a_n>0
[/mm]
Behauptung dann ist auch [mm] a_{n+1}>0
[/mm]
Beweis: [mm] a_n>0 ->1/2*a_n>0 [/mm] und [mm] 1/a_n>0 [/mm] damit
[mm] a_{n+1}=1/2(a_n+2/a_n)>0
[/mm]
Fertig
2. Zeige, daß $ [mm] x_n^2\ge [/mm] $ 2 ist für alle $ [mm] n\in \IN. [/mm] $ Berechne hierfür $ [mm] x_n^2 [/mm] $ -2 und weise nach, daß es $ [mm] \ge [/mm] $ 0 ist.
[mm] x_{n+1}^2-2=(1/2x_n+1/x_n)^2-2=1/4x_n^2+1+1/x_n^2-2=1/4x_n^2-1+1/x_n^2=(1/2*x_n-1/x_n)^2\ge [/mm] 0 weil ein Quadrat immer groesser 0 ist.
3. Aus 2. kannst Du folgern, daß $ [mm] x_n [/mm] $ nach unten durch $ [mm] \wurzel{2} [/mm] $ beschränkt ist.
4. Zeige, daß die Folge monoton fällt, daß also $ [mm] x_{n+1}\le x_n [/mm] $ für alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ gilt.
Berechne hierfür $ [mm] x_n [/mm] $ - $ [mm] x_{n+1} [/mm] $ und zeige, daß dies $ [mm] \ge [/mm] $ 0 ist. Hierfür kannst Du 1. und 2. verwenden.
Die Monotonie hatte ich dir schon unter verwendung von 1 und 2 gezeigt. Versuchs doch mal selbstaendig mit angelas Anweisung.
Die letzten Schritte sind dann nur noch zitate bewiesener Saetze.
Gruss leduart
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> Hallo
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> Die Übungsaufgabe [mm]x_{n+1}=\bruch{1}{2}(x_{n}+ \bruch {2}{x_{n}})[/mm]
>
> 1. Schritt Glieder bestimmt.
>
> [mm]x_{1}=\bruch{3}{2}[/mm]
> [mm]x_{2}=\bruch{17}{12}[/mm]
> [mm]x_{3}=\bruch{577}{408}[/mm]
> [mm]x_{4}=\bruch{665857}{470832}[/mm]
> [mm]x_{5}=\bruch{886731088897}{627013566048}[/mm]
>
> Ich habe die Brüche ausgerechnet und gesehen, das diese
> Werte immer kleiner werden [mm]\Rightarrow:[/mm] diese Folge ist
> erstmal monoton fallend.
Hallo,
genau wissen tust Du das noch nicht.: es könnte ja womöglich beim tausendsten Glied plötzlich wieder größer werden.
Und deshalb muß man auch dies beweisen. Bisher hat es nur den Anschein, daß die Folge monoton ist.
Um dies zu beweisen, mußt dann gezeigt werden, daß für jedes (!) n gilt: [mm] x_{n+1}
Gruß v. Angela
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Nein! Dazu musst Du noch zusätzlich zeigen, dass die Folge auch beschränkt ist.
