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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:10 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums die eindeutig bestimmte positive reele Zahl R, so dass die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(2n+1)!}{(n!)^{2}} x^{n}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR \vmat{x} [/mm] < [mm] \IR [/mm] konvergiert und für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \vmat{x} [/mm] > [mm] \IR [/mm] divigiert |
Hi
ich habe die Aufgabe ausgerechnet doch bei mir kommt ein falsches Ergebnis raus.
Kann jemand mir erklären was für eine Rolle das [mm] x^{n} [/mm] spielt.
Ich weiß wie ich die einzelnen Fakultäten kürzen und ausrechnen muss, jedoch weiß ich nicht wo ich das [mm] x^{n} [/mm] einsetzen soll.
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Hallo Dante,
kleiner Schreibfehler in der Aufgabenstellung es müsste wohl heißen:
für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x<\red{R} [/mm] konvergiert und für alle [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x>\red{R} [/mm] divergiert.
Was sagt Dir denn das Quotientenkriterium? Bedenke, dass x hier eine feste Zahl ist, sich also in der Summe nur das n als Laufindex ändert.
Wenn Du die Aufgabenstellung genau liest, fällt Dir vielleicht auf, dass für x=R nichts gefordert ist. Das ist kein Zufall, denn genau dafür liefert das Quotientenkriterium keine Aussage.
Rechne doch mal vor, was Dir die Anwendung des QK liefert. Wenn Du's richtig gemacht hast, leuchtet Dir das x ziemlich entgegen. Und wenn nicht, bringen wir Dich bestimmt auf den richtigen Weg.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:02 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
Also ich habe mit dem Quotientenkriterium die Zahl [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausgerechnet
Richtig wäre, aber [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
Muss ich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ins x einsetzen und die Summe [mm] \vmat{ x^{\bruch{1}{2}} } [/mm] ausrechnen oder bin ich da auf dem Holzweg
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Hallo nochmal,
das ist ein Holzweg.
Du hast falsch gerechnet.
Aber wenn Du es nicht vorrechnest, finden wir den Fehler nicht. Ich nehme an, Du hast bei den Fakultäten etwas falsch gekürzt bzw. den Grenzwert falsch berechnet.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:55 Mi 08.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
[mm] \bruch{an+1}{an}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{((2n+1)+1)!}{(n+1!)^{2}}}{\bruch{(2n+1)!}{(n!)^{2}} }
[/mm]
[mm] \bruch{((2n+1)+1)!}{(n+1!)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{(n!)^{2}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] \bruch{(2n+2)!}{(n+1!)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{(n!)^{2}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] \bruch{2n!(2n+1)(2n+2)}{n!(n+1)^{2}} [/mm] * [mm] \bruch{n!(n)^{2}}{2n!(2n+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{(2n+1)(2n+2)(n)^{2}}{(n+1)^{2}(2n+1)}[/mm]
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Aha.
> [mm]\bruch{an+1}{an}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{((2n+1)+1)!}{(n+1!)^{2}}}{\bruch{(2n+1)!}{(n!)^{2}} }[/mm]
Hier ist schon der Fehler. Richtig wäre
[mm] \bruch{\bruch{(2\red{(}n+1)+1)!}{((n+1\red{)}!)^{2}}}{\bruch{(2n+1)!}{(n!)^{2}}}
[/mm]
Von hier an musst Du weiterrechnen.
*****
Noch ein paar Anmerkungen zu Deiner weiteren Rechnung:
> [mm]\bruch{((2n+1)+1)!}{(n+1!)^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{(n!)^{2}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(2n+2)!}{(n+1!)^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{(n!)^{2}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2n!(2n+1)(2n+2)}{n!(n+1)^{2}}[/mm] * [mm]\bruch{n!(n)^{2}}{2n!(2n+1)}[/mm]
Schlechte Notation: 2n!=2*(n!), Du meinst aber (2n)!
...von dem (n+1!) statt (n+1)! ganz zu schweigen, s.o.
Auch ansonsten stimmt die Umformung hinten und vorne nicht.
Vielleicht fehlen ja nur ein paar Klammern, aber mindestens der Zähler des rechten Bruchs ist auch dann nicht zu erklären.
> [mm]\bruch{(2n+1)(2n+2)(n)^{2}}{(n+1)^{2}(2n+1)}[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Do 09.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
Hi wie forme ich den das [mm] (n!)^{2} [/mm] und [mm] ((n+1)!)^{2}
[/mm]
um, weil da habe ich meine Schwierigkeiten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 09.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hi wie forme ich den das [mm](n!)^{2}[/mm] und [mm]((n+1)!)^{2}[/mm]
> um, weil da habe ich meine Schwierigkeiten
Hallo,
[mm] (n!)^{2} [/mm] heißt n!*n!.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
Hi
kann jemand meine Reihe kontrollieren und mir verraten ob ich sie bis dahin richtig umgewandelt habe
[mm] \bruch{2n!(2n+1)(2n+2)(2n+3)n!*n!}{n!*n!(n+1)*2n!(2n+1)}
[/mm]
Das Problem ist wenn ich die Reihe auflöse, lautet das Ergebnis 4. Obwohl das Ergebnis 1/4 lauten muss
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Hallo Dante,
> Hi
>
> kann jemand meine Reihe kontrollieren und mir verraten ob
> ich sie bis dahin richtig umgewandelt habe
>
> [mm]\bruch{2n!(2n+1)(2n+2)(2n+3)n!*n!}{n!*n!(n+1)*2n!(2n+1)}[/mm]
Hier fehlt im Nenner einmal [mm](n+1)[/mm] von dem [mm][(n+1)!]^2[/mm]
Aber da du im weiteren auf 4 kommst, wird das nur ein Schreibfehler sein, 4 ist nämlich richtig!
>
> Das Problem ist wenn ich die Reihe auflöse, lautet das
> Ergebnis 4. Obwohl das Ergebnis 1/4 lauten muss
Ja stimmt, oben steht ja auch eine Potenzreihe.
Da berechnet sich der Konvergenzradius [mm]\rho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Wenn du die Reihe als "normale" Reihe auffasst und das QK anwendest, so musst du das [mm]x^n[/mm] mit einbeziehen:
Analog deiner Rechnung ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{(2n+3)!\cdot{}x^{n+1}\cdot{}(n!)^2}{[(n+1)!]^2\cdot{}(2n+1)!\cdot{}x^n}\right|[/mm]
[mm]=4|x|[/mm]
Und wann konvergiert das gem. QK?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Dante19 |
hi
muss ich den rechten Nenner wie folgt umformen oder ist das falsch
(2n+1)! = 2n!(n+1)
Also musste ich bei meiner Reihe den Konvergenzradius ausrechnen, der wäre dann 1/4, weil das das Ergebnis ist
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Fr 10.09.2010 | | Autor: | abakus |
> hi
>
> muss ich den rechten Nenner wie folgt umformen oder ist das
> falsch
>
> (2n+1)! = 2n!(n+1)
Nein, es ist nicht 2*n!(n+1), sondern (2n)!(n+1).
Gruß Abakus
>
> Also musste ich bei meiner Reihe den Konvergenzradius
> ausrechnen, der wäre dann 1/4, weil das das Ergebnis ist
>
>
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:33 Fr 10.09.2010 | | Autor: | reverend |
Guten Abend!
> > hi
> >
> > muss ich den rechten Nenner wie folgt umformen oder ist das
> > falsch
> >
> > (2n+1)! = 2n!(n+1)
> Nein, es ist nicht 2*n!(n+1), sondern (2n)!(n+1).
> Gruß Abakus
Schlimmer noch: [mm] \blue{(2n+1)!=(2n)!*(}\red{2}\blue{n+1)}
[/mm]
Um keine Verwirrung zu stiften, setze ich mal kein bekräftigendes Ausrufungszeichen dahinter. 
Die Schreibweise von Fakultäten ist nicht ideal, sie verlangt einiges Mitdenken und Konzentration. Letztlich ist sie aber nur eine Kurzschreibweise für ein Produkt:
[mm] (2n+1)!=\prod_{i=1}^{2n+1}i=(2n+1)*\prod_{i=1}^{2n}i=(2n+1)*(2n)!=(2n)!*(2n+1)
[/mm]
Grüße
reverend
> > Also musste ich bei meiner Reihe den Konvergenzradius
> > ausrechnen, der wäre dann 1/4, weil das das Ergebnis ist
Nee, das ging auch gut ohne Konvergenzradius, wie abakus doch schon schrieb.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:10 Mi 08.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Dante,
>
> kleiner Schreibfehler in der Aufgabenstellung es müsste
> wohl heißen:
> für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]x<\red{R}[/mm] konvergiert und für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]x>\red{R}[/mm] divergiert.
Hallo reverend,
so stimmt das auch nicht, richtig:
..... für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x|<\red{R}[/mm] konvergiert und für alle [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]|x|>\red{R}[/mm] divergiert.
Gruß FRED
>
> Was sagt Dir denn das Quotientenkriterium? Bedenke, dass x
> hier eine feste Zahl ist, sich also in der Summe nur das n
> als Laufindex ändert.
> Wenn Du die Aufgabenstellung genau liest, fällt Dir
> vielleicht auf, dass für x=R nichts gefordert ist. Das ist
> kein Zufall, denn genau dafür liefert das
> Quotientenkriterium keine Aussage.
>
> Rechne doch mal vor, was Dir die Anwendung des QK liefert.
> Wenn Du's richtig gemacht hast, leuchtet Dir das x ziemlich
> entgegen. Und wenn nicht, bringen wir Dich bestimmt auf den
> richtigen Weg.
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Mi 08.09.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
danke für den Hinweis. Mir ging's um R statt [mm] \IR, [/mm] die Beträge habe ich dabei völlig "geschlabbert". Hätte nicht passieren sollen...
Grüße
reverend
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