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| Aufgabe | | Für eine komplexe Zahl [mm] (z_n)_{n\in\IN} [/mm] gilt: [mm] lim_{n\to \infty}z_n=z_0 [/mm] in [mm] \IC [/mm] genau dann, wenn [mm] lim_{n\to \infty}Re(z_n)=Re(z_0) [/mm] und [mm] lim_{n\to \infty}Im(z_n)=Im(z_0) [/mm] |
Mein Ansatz:
Definition der Konvergenz in [mm] \IC:
[/mm]
[mm] |z_n-z|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |(Re(z_n)+Im(z_n))-(Re(z_0)+Im(z_0)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |Re(z_n)-Re(z_0)|< \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |Im(z_n)-Im(z_0)|< \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Und da [mm] Re(z_n) [/mm] und [mm] Im(z_n) [/mm] gegen [mm] Re(z_0) [/mm] und [mm] Im(z_0) [/mm] konvergieren muss auch [mm] z_n [/mm] gegen [mm] z_0 [/mm] gehen.
Ist das brauchbar ???
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Huhu,
brauchbar ist das insofern, als dass du die Rückrichtung der Äquivalenz damit bewiesen hast (warum?).
Fehlt noch die Hinrichtung.
MFG,
Gono.
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Also fang ich jetzt noch bei [mm] Im(z_n) [/mm] und [mm] Re(z_n) [/mm] an, und zeig das wenn die gegen [mm] z_0 [/mm] konvergieren, auch [mm] z_n [/mm] dagegen konvergieren muss
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Nein, das ist doch die Rückrichtung:
Zeige [mm] $z_n \to z_0$ [/mm] und daraus musst du nun folgern, dass [mm] $Re(z_n) \to Re(z_0)$ [/mm] sowie das gleiche für den Imaginärteil gilt.
MFG,
Gono
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