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| Aufgabe | welche grenzfunktion hat die folge:
[mm]\bruch{e^-^n^x}{\wurzel{1+n+x}}[/mm]
Die Aufgabenstellung lautete, dass ich den Grenzwert berechnen soll von
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}[/mm] |
So und da dachte ich mir, dass ich zunächst die Folge auf punktweise konvergenz untersuche und ggf. auf glm. konvergenz und dann den Vaértauschungssatz anwenden kann.
habe aber als Grenfunktion die Nullfunktion raus und dementsprechen dann den Grenzwert als Null.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 16.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn du ordentlich die glm. Konvergenz gezeigt hasz ist das richtig, Dass 0 rauskommt auch . ist sicher dass unter der Wurzel 1+n+x steht oder kann es auch 1+n*x sein?
Gruss leduart
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das kann auch sein, dass unter der wurzel 1+nx gestadnen hat. ändert sich was an der Grenzfunktion gegen Null???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Sa 16.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist in dem Fall f(0) für alle n? was mit der glm. Konvergenz?
gruss leduart
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oh misst, dann geht die folge gegen 1 und ist nicht mehr stetig und demnstprechend nicht mir glchm. konvergenz.
Aber die Aufgabenstellung hieß, dass wir den grenzwert berechnen sollen und in den übungen wurde uns der tipp gegeben, dass wir uns den vertauschungsatz genau anschauen sollen. Bei der Folge mit nx unter der wurzel, könnte man den satz ja nicht anwenden und demenstrpechen auch nicht den grenzwert berechnen.
was agst du dazu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 16.07.2011 | | Autor: | pete83 |
Ich weiß zwar nicht genau, wie der Vertauschungssatz definiert ist (insofern kann ich dir auch keine Lösung für die Aufgabe mit diesem Mittel geben),
aber es gibt in der Integrationstheorie den Satz von der majorisierten Konvergenz, den man auf diesen Fall anwenden kann.
Für den Fall n+x im Nenner müsste die Funktion auf [0,1] punktweise gegen 0 konvergieren, für den Fall n*x gegen die Funktion
[mm]
f(x) = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x=0 \\
0, & \mbox{wenn }x \in ]0,1]
\end{matrix}\right.
[/mm]
Die Funktion ist zwar nicht stetig, aber durch die konstante 1-Funktion (die integrierbar ist) dominiert, außerdem ist die Menge {0}, wo die Funktion nicht 0 ist eine Null-Menge (hat Lebesgue-Maß 0), daher konvergiert die Folge trotzdem "fast" überall gegen 0. Also dürfen sowohl im Fall n+x als auch im Fall n*x Integral und Limes vertauscht werden, und als Limes die 0-Funktion im Integral angenommen werden, da die Menge der Punkte, wo die Grenzfunktion nicht 0 ist das Maß 0 hat.
Also müsste in beiden Fällen das Integral 0 sein.
Das hilft dir zwar nicht weiter, wenn du eine Lösung aufschreiben musst, da du ja den Vertauschungssatz benutzen sollst, aber zumindest weißt du, was rauskommt 
Bis dann!
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