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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 08.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Finde
1. eine beschränkte Menge A [mm] \subset \IR^2...
[/mm]
2. eine abgeschlossene Menge A [mm] \subset \IR^2...
[/mm]
...und eine Folge [mm] (\vec x_k) [/mm] in A derart, dass [mm] (\vec x_k) [/mm] keine in A konvergente Teilfolge besitzt
Es gibt ja den Satz zur Folgenkompaktheit
[mm] \Rightarrow [/mm] Jede Folge in einer kompakten Teilmenge A [mm] \subset \IR [/mm] enthält eine in A konvergente Teilfolge
Mein Problem ist es daher zunächst eine sinvolle Menge zu finden...
... Ich wähle für 1. (beschränkte Menge A [mm] \subset \IR^2) [/mm] folgende Menge:
[mm] A=\{(x,y) \in \IR^2 | x^2+y^2 < 1\}
[/mm]
Es handelt sich somit um eine offene Kreisscheibe.
Die Menge ist also beschränkt, aber offen und daher nicht kompakt.
Angenommen ich wähle die Folge [mm] (\vec x_k)=(1-\bruch{1}{k}, [/mm] 0)
Diese Folge konvergiert in der offenen Kreisscheibe gegen (1,0)
Der Grenzwert liegt also nicht in der Menge...
Würde das als Beweis für 1. zunächst reichen???
mfg thadod
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> Hallo zusammen...
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> Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
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> Finde
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> 1. eine beschränkte Menge A [mm]\subset \IR^2...[/mm]
> 2. eine
> abgeschlossene Menge A [mm]\subset \IR^2...[/mm]
>
> ...und eine Folge [mm](\vec x_k)[/mm] in A derart, dass [mm](\vec x_k)[/mm]
> keine in A konvergente Teilfolge besitzt
>
> Es gibt ja den Satz zur Folgenkompaktheit
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Jede Folge in einer kompakten Teilmenge A
> [mm]\subset \IR[/mm] enthält eine in A konvergente Teilfolge
>
> Mein Problem ist es daher zunächst eine sinvolle Menge zu
> finden...
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> ... Ich wähle für 1. (beschränkte Menge A [mm]\subset \IR^2)[/mm]
> folgende Menge:
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> [mm]A=\{(x,y) \in \IR^2 | x^2+y^2 < 1\}[/mm]
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> Es handelt sich somit um eine offene Kreisscheibe.
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> Die Menge ist also beschränkt, aber offen und daher nicht
> kompakt.
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> Angenommen ich wähle die Folge [mm](\vec x_k)=(1-\bruch{1}{k},[/mm]
> 0)
>
> Diese Folge konvergiert in der offenen Kreisscheibe gegen
> (1,0)
>
> Der Grenzwert liegt also nicht in der Menge...
>
> Würde das als Beweis für 1. zunächst reichen???
Ja, passt so. Da die Folge in [mm] \IR^2 [/mm] konvergiert, konvergieren auch alle Teilfolgen gegen (1;0). Damit gibt es keine Teilfolge mit Grenzwert in A.
Und für 2. brauchst du eine abgeschlossene Menge, die nicht kompakt ist...
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Di 08.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo... Und danke für die Antwort (Das ging schnell) 
Okay ich verscuche mich nun an 2. womit ich mich leider auch ein wenig schwieriger tuhe...
Wie du schon sagst benötige ich nun eine abgeschlossene Menge, welche nicht kompakt ist
Ich wähle [mm] A=\{(x,y) \n \R^2 | cos(x)+sin(y)=1 \}
[/mm]
Die Menge ist abgeschlossen aber nicht beschränkt (Also nicht kompakt).
Allerdings fällt mir nun keine Folge in A derart ein, dass diese keine konvergente Teilfolge besitzt...
Ist [mm] A=\{(x,y) \n \R^2 | cos(x)+sin(y)=1 \} [/mm] vielleicht etwas unglücklich gewählt?
mfg thadod
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Hallo thadod,
die Menge [mm] A=\IR\times\{0\} [/mm] ist abgeschlossen und unbeschränkt (es handelt sich um die "x-Achse").
Mit dieser Menge findest du ganz einfach eine Folge ohne konvergente Teilfolge.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 08.11.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo aber handelt es sich hierbei auch um eine Menge des [mm] \IR^2??? [/mm] Kann man das auch anders verständlicher schreiben???
MfG thadod
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> Hallo aber handelt es sich hierbei auch um eine Menge des
> [mm]\IR^2???[/mm] Kann man das auch anders verständlicher
> schreiben???
Es gilt
[mm] A=\IR\times\{0\}=\{(x,0): x\in\IR\}.
[/mm]
Warum sollte das keine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] sein?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 08.11.2011 | | Autor: | thadod |
Mir würde jetzt spontan die Folge [mm] (\vec x_k)=(k,0) [/mm] einfallen. aber vllt. Versteh ich auch das Beispiel nicht ganz...
MfG thadod
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> Mir würde jetzt spontan die Folge [mm](\vec x_k)=(k,0)[/mm]
> einfallen. aber vllt. Versteh ich auch das Beispiel nicht
> ganz...
Doch. Die Folge liegt in A und strebt gegen unendlich. Damit streben auch alle Teilfolgen gegen unendlich, d.h. es gibt keine konvergenten Teilfolgen und die Aufgabe ist gelöst.
>
> MfG thadod
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 08.11.2011 | | Autor: | thadod |
Fett Dankeschön :)
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