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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:57 Sa 12.11.2011 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] \frac {n}{n^2+4} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
n=...? |
Ich stecke grade fest bei etwas ganz einfachen, aber bin anscheinend zu dumm...
| [mm] \frac{n}{n^2 + 4} [/mm] | < [mm] \frac{n}{n^2+4} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{n}{n^2+4} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
bin zu blöd um dass in die Form n =... zu bringen
Kann mir da wer helfen?
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Hallo sissile,
> [mm]\frac {n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> n=...?
> Ich stecke grade fest bei etwas ganz einfachen, aber bin
> anscheinend zu dumm...
>
> | [mm]\frac{n}{n^2 + 4}[/mm] | < [mm]\frac{n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\frac{n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> bin zu blöd um dass in die Form n =... zu bringen
> Kann mir da wer helfen?
[mm] n<\varepsilon(n^2+4)=\varepsilon n^2+4\varepsilon
[/mm]
[mm] n^2-\bruch{n}{\varepsilon}+4>0
[/mm]
Jetzt pq-Formel.
Grüße
reverend
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> [mm]\frac {n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> n=...?
> Ich stecke grade fest bei etwas ganz einfachen, aber bin
> anscheinend zu dumm...
>
> | [mm]\frac{n}{n^2 + 4}[/mm] | < [mm]\frac{n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\frac{n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Wenn es nur darum geht, zu zeigen, dass es sich hier
um eine Nullfolge geht, muss man die Ungleichung
gar nicht unbedingt "exakt" lösen, sondern es genügt
zu zeigen, dass die Ungleichung für alle genügend großen
[mm] n\in\IN [/mm] erfüllt ist.
Man kann dann die Ungleichung
(1) [mm]\frac {n}{n^2+4}\ <\ \varepsilon[/mm]
durch die einfachere Ungleichung
(2) [mm]\frac {n}{n^2}\ <\ \varepsilon[/mm]
ersetzen (weshalb genau ?), und diese lässt sich nun
wirklich ganz einfach lösen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Servus also beim Bsp: Beweise Konvergenz durch explizite angabe des [mm] N(\varepsilon) [/mm] aus der Def. der Konvergenz. Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] n/(n^2+4)
[/mm]
[mm] \frac {n}{n^2+4} [/mm] < [mm] \frac{n}{n^2} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
n < [mm] \frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
N [mm] \le \frac{1}{\varepsilon}
[/mm]
Hab ich da jetzt was falsch gemacht? weil N plötzlich ja eingeschränkt ist, und kleiner gleich etwas sein soll...(hab ich igendwie das Relationszeichen in die falsche Richtung??)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 So 13.11.2011 | | Autor: | Sigrid |
Hallo sissile,
$ [mm] \frac {n}{n^2+4} [/mm] $ < $ [mm] \frac{n}{n^2} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
n < $ [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
N $ [mm] \le \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
Hier stimmt was nicht. Es muss heißen:
n > $ [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
Daraus kannst Du dann folgern:
|$ [mm] \frac {n}{n^2+4} [/mm] $| < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Beachte:
Wenn a, b > 0, dann gilt:
$ a < b [mm] \gdw \frac [/mm] {1}{a} > [mm] \frac [/mm] {1}{b} $
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
$ [mm] \frac {n}{n^2+4} [/mm] $ < $ [mm] \frac{n}{n^2} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
Das stimm aber noch? wenn ich im Nenner vier abzähle wird es größer
$ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
n > $ [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
> N $ > [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] $
nicht [mm] \ge [/mm] ? wieso nicht
Dass ist dann doch soweit fertig?
Ich hätte noch eine Frage zu Beschränktheit!
Ich habe gezeigt, dass die Folge [0,2[ wachsend ist und noch [2, [mm] \infty[ [/mm] fallend. So kann ich ja aus der Monotonie folgern, dass bei [mm] a_n [/mm] =1/4 die Folge nach oben beschränkt ist?
Und der lim [mm] n/(n^2 [/mm] +4) = 0
[mm] n->\infty
[/mm]
Jetzt habe ich in vielen Foren gelesen, dass sie dies noch mit vollständiger Induktion beweisen! Muss man das machen wenn man Beschränktheit zeigen soll?? (Und wie würde ich das hier machen?)
Ganz liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\frac {n}{n^2+4}[/mm] < [mm]\frac{n}{n^2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Das stimm aber noch? wenn ich im Nenner vier abzähle wird
> es größer
>
> [mm]\frac{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> n > [mm]\frac{1}{\varepsilon}[/mm]
>
> > N [mm]> \frac{1}{\varepsilon}[/mm]
> nicht [mm]\ge[/mm] ? wieso nicht
>
>
> Dass ist dann doch soweit fertig?
Ja
> Ich hätte noch eine Frage zu Beschränktheit!
> Ich habe gezeigt, dass die Folge [0,2[ wachsend ist und
> noch [2, [mm]\infty[[/mm] fallend. So kann ich ja aus der Monotonie
> folgern, dass bei [mm]a_n[/mm] =1/4 die Folge nach oben beschränkt
> ist?
> Und der lim [mm]n/(n^2[/mm] +4) = 0
> [mm]n->\infty[/mm]
> Jetzt habe ich in vielen Foren gelesen, dass sie dies noch
> mit vollständiger Induktion beweisen! Muss man das machen
> wenn man Beschränktheit zeigen soll?? (Und wie würde ich
> das hier machen?)
0 [mm] \le a_n= \bruch{n}{n^2+4} \le [/mm] 1/n [mm] \le [/mm] 1
FRED
> Ganz liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Okay, also sagst du, dass wenn man die Konvergenz bewiesen hat auch die Beschränktheit zum einen Teil bewiesen ist?
Die Beschränktheit so zu machen, wie ich es schrieb und dann nicht die Konvergenz zu beweisen wäre unvollstädig?
Bitte nur kurz meine Fragen beantworten, danke ;)
Dann geb ich eine Ruh ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Das
0 $ [mm] \le a_n= \bruch{n}{n^2+4} \le [/mm] $ 1/n $ [mm] \le [/mm] $
zeigt doch die Beschränktheit !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
Ich hatte zei Fragen ... -.-
Die Beschränktheit mit 1/n ist einen doch aber nur klar nachdem man die Konvergenz bewiesen hat.
Bitte auf meine Frage eingehen!
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> Die Beschränktheit mit 1/n ist einen doch aber nur klar
> nachdem man die Konvergenz bewiesen hat.
Das geht hier Hand in Hand. Die Abschätzung
[mm] 0\le a_n=\bruch{n}{n^2+4}\le\frac{1}{n}\le1
[/mm]
gilt für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Beachte [mm] \bruch{n}{n^2+4}\le\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}, [/mm] man darf bei Abschätzung nach oben den Nenner verkleinern.
Und ja, wenn du gezeigt hast, dass eine Folge konvergiert, dann folgt automatisch die Beschränktheit (die umgekehrte Implikation gilt nicht unbedingt).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 So 13.11.2011 | | Autor: | sissile |
danke, vertstanden LG ;))
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