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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Jetzt habe ich mir mal eine einfachere Aufgabe ausgesucht, die ich meine, gelöst zu haben:
Man gebe Beispiele von Folgen reeller Zahlen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] mit lim [mm] a_n=\infty, [/mm] lim [mm] b_n=0 [/mm] an, so dass jeder der folgenden Fälle eintritt:
i) [mm] lim(a_n b_n)=+\infty
[/mm]
ii) [mm] lim(a_n b_n)=-\infty
[/mm]
iii) [mm] lim(a_n b_n)=c, [/mm] wobei c eine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist.
iv) Die Folge [mm] (a_n b_n) [/mm] ist beschränkt, konvergiert aber nicht.
So, hier meine Lösungen:
i) [mm] a_n=n^2, b_n=\bruch{1}{n}
[/mm]
ii) [mm] a_n=n^2, b_n=-\bruch{1}{n}
[/mm]
iii) [mm] a_n=n, b_n=\bruch{1}{n} \Rightarrow [/mm] c=1
iv) [mm] a_n=(-n)^n, b_n=(\bruch{1}{n})^n \Rightarrow a_n b_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm]
da fällt mir aber gerade bei der letzten auf, dass ich mir nicht sicher bin, ob [mm] a_n [/mm] konvergiert. Ich glaube, eher nicht, oder? Es schwankt ja immer zwischen positiv und negativ und wird betragsmäßig immer größer, aber eben nur betragsmäßig. Also schreibe ich besser:
[mm] a_n=n^n, b_n=-\bruch{1}{n} [/mm] - stimmt's dann?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> So, hier meine Lösungen:
>
> i) [mm]a_n=n^2, b_n=\bruch{1}{n}[/mm]
> ii) [mm]a_n=n^2, b_n=-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> iii) [mm]a_n=n, b_n=\bruch{1}{n} \Rightarrow[/mm] c=1
> iv) [mm]a_n=(-n)^n, b_n=(\bruch{1}{n})^n \Rightarrow a_n b_n[/mm] = [mm](-1)^n[/mm]
>
> da fällt mir aber gerade bei der letzten auf, dass ich mir
> nicht sicher bin, ob [mm]a_n[/mm] konvergiert. Ich glaube, eher
> nicht, oder?
Diese Folge konvergiert nicht, d.h. sie divergiert. Das kannst Du ja leicht mit dem [mm] $\delta-\varepsilon$-Kriterium [/mm] überprüfen.
Die Gesamtfolge hat die beiden Häufungspunkte $+1_$ bzw. $-1_$ .
Diese Lösung ist also richtig im Sinne der Aufgabenstellung!
> Also schreibe ich besser:
> [mm]a_n=n^n, b_n=-\bruch{1}{n}[/mm] - stimmt's dann?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein, diese Folge erfüllt ja nicht die Vorgabe, daß [mm] $\left$ [/mm] beschränkt ist, da gilt: [mm] $a_n*b_n [/mm] \ = \ [mm] n^n [/mm] * [mm] \left(-\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ - [mm] n^{n-1}$
[/mm]
Grüße
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Thorsten!
> > So, hier meine Lösungen:
> >
> > i) [mm]a_n=n^2, b_n=\bruch{1}{n}[/mm]
> > ii) [mm]a_n=n^2, b_n=-\bruch{1}{n}[/mm]
>
> >
> > iii) [mm]a_n=n, b_n=\bruch{1}{n} \Rightarrow[/mm] c=1
> > iv) [mm]a_n=(-n)^n, b_n=(\bruch{1}{n})^n \Rightarrow a_n b_n[/mm]
> = [mm](-1)^n[/mm]
> >
> > da fällt mir aber gerade bei der letzten auf, dass ich mir
> > nicht sicher bin, ob [mm]a_n[/mm] konvergiert. Ich glaube, eher
> > nicht, oder?
>
> Diese Folge konvergiert nicht, d.h. sie divergiert. Das
> kannst Du ja leicht mit dem [mm]\delta-\varepsilon[/mm]-Kriterium
> überprüfen.
Welche Folge konvergiert nicht?
> Die Gesamtfolge hat die beiden Häufungspunkte [mm]+1_[/mm] bzw. [mm]-1_[/mm]
> .
>
> Diese Lösung ist also richtig im Sinne der
> Aufgabenstellung!
Dass die Gesamtfolge nicht konvergiert, das war mir schon klar, denn das sollte ja so sein. Aber was ist jetzt mit [mm] (-n)^n? [/mm] Das konvergiert doch auch nicht, oder?
> > Also schreibe ich besser:
> > [mm]a_n=n^n, b_n=-\bruch{1}{n}[/mm] - stimmt's dann?
>
> Nein, diese Folge erfüllt ja nicht die Vorgabe, daß
> [mm]\left[/mm] beschränkt ist, da gilt: [mm]a_n*b_n \ = \ n^n * \left(-\bruch{1}{n}\right) \ = \ - n^{n-1}[/mm]
Uups - da hab ich mich vertippt! Es sollte sich nur das Vorzeichen von [mm] a_n [/mm] zu [mm] b_n [/mm] verschieben, dann bleibt die Gesamtfolge ja gleich. Und dann müsste [mm] a_n [/mm] wieder konvergieren!? Also, es soll heißen: [mm] a_n=n^n, b_n=(-\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
Und noch eine Frage: mit der Nullfolge [mm] b_n=\bruch{1}{n} [/mm] ging das ja recht einfach, da konnte man ja quasi alle Aufgaben mit lösen (ich gehe mal davon aus, dass der Rest richtig war?). Gibt es da noch eine andere Folge, mit der das ginge? Also theoretisch wahrscheinlich auch mit [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] oder so, aber gibt's da noch was ganz anderes? Und gäbe es noch einfache Beispiele mit einer ganz anderen Folge [mm] a_n?
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Do 28.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastiane!
> Allerdings müsste doch bei ii) das Vorzeichen auch zur
> Folge [mm]b_n[/mm], oder?
> [mm]-3^n[/mm] konvergiert doch wohl gegen [mm]-\infty,[/mm] sollte aber
> gegen [mm]+\infty[/mm] konvergieren.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich habe es korrigiert, sowie noch zu iii.) eine kleine Ergänzung hinzugefügt für $c \ < \ 0$ !!
Gruß
Loddar
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
War wohl etwas zu nächtlich vorhin! ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
