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Folgen: Rekursiv
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 So 13.11.2011
Autor: theresetom

Aufgabe
Durch Angabe von a1∈IR  und durch
[mm] a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+3 [/mm] ,n∈IN

wird eine folge rekursiv definiert. Man errate einen Kanditaten für ihren Grenzwert und beweise die Konvergenz.

Ich sag mal [mm] a_n [/mm] geht gegen a
so ist a= [mm] \frac{a}{2}+3 [/mm]
womit a =6 ist

Konvergenz anschauen
[mm] |\frac{a_{n}}{2}+3-6| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] |\frac{a_n}{2}-\frac{6}{2}| [/mm] < [mm] |\frac{a_n}{2}|< \varepsilon [/mm]

wie mache ich denn da weiter? wie krieg ich die betragsstriche weg?
Vielen dank für hilfe!

        
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Folgen: Konvergenz beweisen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 So 13.11.2011
Autor: Loddar

Hallo theresetom!


Dein vermuteter Grenzwert ist richtig. Allerdings gilt die entsprechende Bestimmungsgleichung $a \ = \ [mm] \bruch{a}{2}+3$ [/mm] nur unter einer einzigen Bedingung: [mm] $a_n$ [/mm] ist konvergent!

Du musst hier also zunächst zeigen (z.B. mittels Induktion), dass die rekursiv definierte Folge [mm] $a_n$ [/mm] sowohl beschränkt als auch monoton ist.


Gruß
Loddar


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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 So 13.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Durch Angabe von [mm] a_1\in\IR [/mm]  und durch
>  [mm]a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+3[/mm] , [mm] n\in\IN [/mm]
>  
> wird eine Folge rekursiv definiert. Man errate einen
> Kanditaten für ihren Grenzwert und beweise die
> Konvergenz.
>  Ich sag mal [mm]a_n[/mm] geht gegen a
>  so ist a= [mm]\frac{a}{2}+3[/mm]
>  womit a =6 ist
>  
> Konvergenz anschauen
>  [mm]|\frac{a_{n}}{2}+3-6|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  [mm]|\frac{a_n}{2}-\frac{6}{2}|[/mm] < [mm]|\frac{a_n}{2}|< \varepsilon[/mm]



Ratschlag:

Definiere die Folge [mm] [/mm] mit  [mm] b_n:=a_n-6 [/mm]

Leite aus der Rekursionsformel für die Folge [mm] [/mm] die
Rekursionsformel für die Folge [mm] [/mm] her und zeige,
dass [mm] [/mm] eine Nullfolge ist - unabhängig vom Start-
wert !

LG    Al-Chw.

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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 So 13.11.2011
Autor: theresetom


> Leite aus der Rekursionsformel für die Folge $ [mm] [/mm] $ die

Rekursionsformel für die Folge $ [mm] [/mm] $ her

??Verzweifelt !
Ich dachte daran den Abstand [mm] |a_{n+1} [/mm] −6|  mit dem Abstand [mm] |a_{n} [/mm] −6|  in Beziehung zu setzen oder so etwas.
Aber damit kann ich jetzt garde nix anfangen!;(

Bezug
                        
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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 So 13.11.2011
Autor: leduart

Hallo
mach eine Fallunterscheidung [mm] a_0>6 [/mm] und [mm] a_0<6 [/mm]
dann zeigst du dass falls [mm] a_0>6 [/mm] a1>6 allgemein [mm] a_n>6 [/mm] folgt [mm] a_{n+1}>6 [/mm] d.h. nach unten beschränkt. dann noch zeigen monoton fallend .
[mm] a_n<6 [/mm] entsprechend [mm] a_{n+1}<6 [/mm]  also nach oben beschränkt. dann noch zeigen monoton steigend.
Gruss leduart


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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:56 So 13.11.2011
Autor: theresetom

was ist [mm] a_0 [/mm] ?
Kannst du dass nochmals genauer aufschreiben wa sich machen muss?

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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:05 Mo 14.11.2011
Autor: reverend

Hallo theresetom,

meine Güte, so ein bisschen Transferleistung durch eigenes Denken sollte doch möglich sein...

> was ist [mm]a_0[/mm] ?

Das ist eine typische Bezeichnung für das erste gegebene Folgenglied einer rekursiven Folge. In Deiner Aufgabe heißt es allerdings [mm] a_1. [/mm]

>  Kannst du dass nochmals genauer aufschreiben wa sich
> machen muss?

Betrachte die Folge für [mm] a_1>6 [/mm] und weise nach, dass sie monoton fallend und nach unten durch a=6 beschränkt ist.

Dann betrachte die Folge für [mm] a_1<6 [/mm] und weise nach, dass sie monoton wachsend und nach oben durch a=6 beschränkt ist.

Grüße
reverend


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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:18 Mo 14.11.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Leite aus der Rekursionsformel für die Folge [mm][/mm] die
>  Rekursionsformel für die Folge [mm][/mm] her
>
> ??Verzweifelt !
>  Ich dachte daran den Abstand [mm]|a_{n+1}[/mm] −6|  mit dem
> Abstand [mm]|a_{n}[/mm] −6|  in Beziehung zu setzen oder so
> etwas.
>  Aber damit kann ich jetzt garde nix anfangen!;(


Würdest du meinem Tipp mit der Folge [mm] [/mm] folgen,
so könntest du dir sogar ersparen, dich mit Betragsun-
gleichungen herumzuschlagen ...

LG


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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 14.11.2011
Autor: theresetom

Tut mir leid, aber ich hab erst vor einer Woche, das erste Mal mit Folgen zu tun gehabt. Also verstehe ich es so nicht!

[mm] |a_{n+1} [/mm] - 6| = [mm] |\frac{a_n}{2}+3 [/mm] -6 | = [mm] |\frac{a_n}{2} [/mm] -3| [mm] =|\frac{a_n -6}{2}| [/mm]

Behauptung: [mm] |a_n [/mm] - 6| [mm] \le \frac{a_1-6}{2^{n-1}} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
Induktion n= 1  gilts

Annahme: für A(n) gilts
Induktionsschritt: [mm] |a_{n+1}-6|=\frac{|a_n-6|}{2} [/mm]
wie komme ich nun auf die rechte seite?



> [mm] \frac{a_1-6}{2^{n-1}} [/mm]

Das hab ich von einen Buch, wie komme ich selbstständig da hin?

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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Mo 14.11.2011
Autor: fred97

Al hat Dir doch gesagt, dass Du um die Beträge herumkommst:

Es ist

        [mm] a_{n+1}-6= \bruch{a_n-6}{2}, [/mm]

also mit [mm] b_n:=a_n-6: [/mm]

          [mm] b_{n+1} =\bruch{b_n}{2}, [/mm]

Da könnte man doch vermuten, dass gilt:

            [mm] b_{n+1} =\bruch{b_1}{2^{n-1}} [/mm] für n [mm] \in \IN. [/mm]

So, das beweise mal induktiv.

FRED

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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Mo 14.11.2011
Autor: theresetom

So heute in der vorlesung hat wer gefragt, wie das geht - da sich bei uns keiner mit der aufgabe auskennt!
Meine schritte des letzten postes waren genauso, weiters war es:

Induktionsschritt $ [mm] |a_{n+1}-6|=\frac{|a_n-6|}{2} [/mm] $ [mm] \ge [/mm] 1/2 [mm] \frac{|a_1-b|}{2^{n-1}} [/mm] =| [mm] \frac{|a_1-b|}{2^{n+1-1}} [/mm]

Betragsstriche lasse ich, da der Professor es auch so belassen hat!

MPF..versteh ich- denke ich mal!
Nur wie ich selbstständig auf $ [mm] b_{n+1} =\bruch{b_1}{2^{n-1}} [/mm] $ komme ist mir nach wie vor nicht klar!

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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Di 15.11.2011
Autor: leduart

Hallo
das [mm] bn=a_n-6 [/mm] wird doch in jedem Schritt halbiert.
gruss leduart


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