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| Aufgabe | a) Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reelle Zahlenfolge und 0 [mm] \le [/mm] q < 1.
Zeigen Sie (Quotientenkriterium für Nullfolgen):
Gilt [mm] |a_{n+1}| \le [/mm] q * [mm] |a_{n}| [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN, [/mm] so ist [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge.
b)
Zeigen Sie, dass die Folgen
(i) [mm] \vektor{n^{k}\\ \overline{a^{n}} }_{n \in \IN} [/mm] (a>1,k [mm] \in \IN)
[/mm]
(ii) [mm] \vektor{a^{n}\\ \overline{n!} }_{n \in \IN} (a\in \IR)
[/mm]
Nullfolgen sind. |
ich hab ja oben die Frage gestellt, wie ich den Grenzwert, zu der Folge bestimme, aber mit der b)i) dieser aufgabe is das nun erledigt.
Nur leider weiß ich nicht wie ich die anpacken soll.
also erst zur a)
[mm] |a_{n+1}| \le [/mm] q * [mm] |a_{n}| [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] es gibt ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit
[mm] |a_{n+1}| \le [/mm] q * [mm] |a_{n}| \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
aus 0 [mm] \le [/mm] q < 1 folgt [mm] |a_{n+1}| \le |a_{n}| \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}
[/mm]
Weiterhin:
[mm] |a_{n_{0}+k}| \le q^{k} |a_{n_{0}}| [/mm] (induktiv)
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} q^{k} [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} =\limes_{n\rightarrow\infty} q^{k} |a_{n_{0}}|= [/mm] 0 (mit k = [mm] n-n_{0})
[/mm]
b)also bei der hab mich mir auch schon einiges überlegt mir fehlt aber ein ansatz ....
ich hoffe mir kann jmd helfen
mfg
ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der ansatz ist a)
sag bitte nicht ich hab einiges ueberlegt, sondern was du ueberlegt hast.
Gruss leduart
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ist der Teil a) soweit richtig?
bei Teil b)
(i) hier weiß ich, da das k fest ist und das a>1, dass [mm] a^{n}, [/mm] schneller wächst als [mm] n^{k}, [/mm] leider haben wir noch keinen satz dafür, d.h. ich müsste irgendwie zeigen, warum das schneller wächst ( für konkrete Zahlen k und a, kann man das durch Induktion machen.), wie ich es aber hier mache weiß ich nicht
(ii) gleiches Problem
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_n=\bruch{n^k}{a^n}. [/mm] Dann ist [mm] |a_n|=a_n
[/mm]
Zeige, dass Der GW g von [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] ex. und <1 ist.
Ist nun q so, dass g<q<1, so gilt:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] q für fast alle n.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Du weißt ja, dass wenn eine Reihe konvergiert, die Bedingung gilt, dass die Folge der Reihe (in dem Fall [mm] \bruch{a^n}{n!}) [/mm] eine Nullfolge ist.
Benutz einfach, wie in der Aufgabe sogar vorgegeben das Quotientenkriterium, also hast du [mm] \bruch{a^{n+1}}{(n+1)!} \bruch{n!}{a^n}
[/mm]
Wenn nun dein q, was du erhälst kleiner als 1 ist, weißt du, dass die Reihe konvergiert und somit die Folge [mm] \bruch{a^n}{n!} [/mm] eine Nullfolge ist.
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ok vielen dank für die antworten
ich werd mich gleich daran machen
mfg
ConstantinJ
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Hätte dazu auch mal noch eine Frage:
Wenn ich $ [mm] \bruch{a^{n+1}}{(n+1)!} \bruch{n!}{a^n} [/mm] $ vereinfache, erhalte ich ja:
[mm] \bruch{a}{n+1}. [/mm] Wie komme ich jetzt aber auf q? Bzw. wie zeige, ich dann dass [mm] \bruch{a}{n+1} [/mm] < 1 ist?
Wäre es z.B. ok, wenn ich schreibe a-n [mm] \le [/mm] q <1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 So 27.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hätte dazu auch mal noch eine Frage:
> Wenn ich [mm]\bruch{a^{n+1}}{(n+1)!} \bruch{n!}{a^n}[/mm]
> vereinfache, erhalte ich ja:
> [mm]\bruch{a}{n+1}.[/mm] Wie komme ich jetzt aber auf q? Bzw. wie
> zeige, ich dann dass [mm]\bruch{a}{n+1}[/mm] < 1 ist?
> Wäre es z.B. ok, wenn ich schreibe a-n [mm]\le[/mm] q <1?
[mm]\bruch{a}{n+1}.[/mm] [mm] \to [/mm] 0. Dann gibt es ein N mit [mm]\bruch{a}{n+1}.[/mm] <1/2 für n>N
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Verstehe ich es richtig, dass man für q=1/2 wählen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 So 27.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
q=0.5 ist eine moegliche Wahl. du kannst jedes 0,q,1 nehmen und hier sogar explizit N(a) angeben!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 27.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Richtig, wichtig ist nur, dass wenn du das Quotienten- oder Wurzelkriterium anwendest, dass dein q < als 1 ist und wenn das der Fall ist, weißt du dass deine Reihe konvergiert und das deine Folge somit eine monotone Nullfolge ist. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 27.05.2012 | | Autor: | rollroll |
Was meinst du denn mit N(a) explizit angeben? Bzw. wäre denn hier N(a)?
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Hallo,
Du hattest
$ [mm] \bruch{a^{n+1}}{(n+1)!} \bruch{n!}{a^n} [/mm] $= $ [mm] \bruch{a}{n+1} [/mm] $.
Sei nun [mm] q=\bruch{1}{2}.
[/mm]
Wähle dazu passend [mm] N(a)\in \IN [/mm] mit N(a)>2a+1.
Dann gilt für alle n>N(a):
[mm] \bruch{a}{n+1}<\bruch{a}{2a+1+1}=\bruch{1}{2}*\bruch{a}{a+1}<\bruch{1}{2}.
[/mm]
LG Angela
P.S.: mein N(a) habe ich natürlich gefunden, indem ich [mm] \bruch{a}{n+1}<\bruch{1}{2} [/mm] klammheimlich umgestellt habe.
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