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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 22.01.2012 | | Autor: | Flobo |
| Aufgabe | Gegeben sind die Zahlenfolgen [mm] (x_{n}) [/mm] und [mm] (y_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n}= \bruch{2}{n^{2}} [/mm] sowie [mm] y_{n}=(\bruch{1}{2})^{n}.
[/mm]
1. Man bilde daraus die Zahlenfolgen
[mm] u_{n}=x_{n}+y_{n}; v_{n}=x_{n}-y_{n}; w_{n}=x_{n}\*y_{n}
[/mm]
und zeige durch Angabe eines [mm] n_{0}(\varepsilon), [/mm] dass diese ebenfalls Nullfolgensind.
2. Man bilde die Zahlenfolge [mm] (t_{n}) [/mm] mit [mm] t_{n}=\bruch{x_{n}}{y_{n}}
[/mm]
und untersuche, ob [mm] (t_{n})auch [/mm] Nullfolge ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme hier einfach nicht weiter, weil ich mit Folgen absolut nicht rechnen kann... Kann mir bitte jemand helfen? Grenzwert ansich kann ich, ich kann nur nicht zwei Folgen addieren/multiplizieren und ich weiß nicht, was es mit diesem [mm] n_{0}(\varepsilon) [/mm] auf sich hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 So 22.01.2012 | | Autor: | Gedro |
Soweit ich mich nicht irre bedeutet das [mm] n_{0}(\varepsilon), [/mm] dass dein [mm] n_{0} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] gewählt werden soll.
Die Definition für Konvergenz von Folgen lautet:
Konvergiert die Folge [mm] (x_{n})_{n} [/mm] gegen den Grenzwert x so gilt:
Für [mm] \all \varepsilon [/mm] > 0, [mm] \exists n_{0} \in \IN, [/mm] so dass für [mm] \all [/mm] n [mm] \ge n_{0} [/mm] gilt:
[mm] |x_{n} [/mm] - x| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Für deine erste Folge würde jetzt also z.b. gelten [mm] u_{n} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n^2}+\bruch{1}{2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+2^{n+1}}{n^2*2^{n}} [/mm] . Die soll gegen 0 konvergieren, also stellst du die Ungleichung
[mm] |\bruch{n^2+2^{n+1}}{n^2*2^{n}} [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm] auf. Nun musst du Abschätzen und nach n umformen, sodass du weisst ab welchem [mm] n_{0} [/mm] alle deine weiteren Folgenglieder kleiner sind als das [mm] \varepsilon.
[/mm]
Du könntest bei dieser Folge als Beispiel wie folgt vorgehen:
[mm] |\bruch{n^2+2^{n+1}}{n^2*2^{n}} [/mm] - 0 | = [mm] \bruch{n^2+2^{n+1}}{n^2*2^{n}} [/mm] < [mm] \bruch{2^{n+1}+2^{n+1}}{n^2*2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{2^{n+2}}{n^2*2^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{n^2} \le \bruch{4}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm]
Jetzt musst du nur noch nach n umformen und du hast dein [mm] n_{0} [/mm] welches von [mm] \varepsilon [/mm] abhängig ist.
So verfolgst du auch bei den anderen Folgen.
Bei der Aufgabe 2) kannst du ja evtl. etwas mit der exp Funktion machen und dir in Erinnerung rufen in welchem Zusammenhang sie mit Polynomen steht.
Gruß,
Gedro
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