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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Mitch |
hey, ich habe hier einige Aussagen, die ich zum Teil nicht ganz verstehe...! Vielleicht kann mir hierzu jemand ne kurze Erklärung geben:
1. [mm] \exists a \in\IR : \exists \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \exists n_0 \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon [/mm]
Mein Problem bei dieser Aussage ist, dass es nur für [mm] \exists \epsilon \in \IR [/mm] gilt. Falls da stehen würde für [mm] \forall \epsilon \in \IR [/mm] wäre es ja die genaue Definition für Konvergenz.
2. [mm] \forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon [/mm]
Diese Aussag ist für mich völlig unveständlich. Soll das heißen; es gibt für jedes Epsilon einen Grenzwert a!?! Das würde doch keinen Sinn ergeben...!
3. [mm] \exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon [/mm]
Die Aussage ist doch trivial, oder? Denn man könnte ja immer irgendein Epsilon wählen, für das die Aussage gelten würde...! Oder sehe ich das falsch?
Vielleicht könnt ihr die Aussagen auch kurz an Beispielfolgen, wie [mm] a_n = \sqrt{n} [/mm] und/oder [mm] a_n = \bruch {1}{3^n} [/mm] erläutern!?
Ich wäre euch sehr dankbar,
Gruß Mitch
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> hey, ich habe hier einige Aussagen, die ich zum Teil nicht
> ganz verstehe...! Vielleicht kann mir hierzu jemand ne
> kurze Erklärung geben:
Hallo,
mein ausgeprägter detektivischer Spürsinnsagt mir, daß Du für vorgegeben Folgen entscheiden sollst, ob diese Aussagen gelten oder nicht.
Die Aufgabe dient dazu, daß Du Dich mit der [mm] \varepsilon-Definition [/mm] für Konvergenz eingehend auseinandersetzt und sie schließlich verstehst.
>
> 1. [mm]\exists a \in\IR : \exists \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \exists n_0 \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon[/mm]
Die Aufgabe ist, ob Du für eine vorgegene Folge irgendeine feste Zahl a findest und irgendein festes [mm] \varepsilon, [/mm] so daß für alle natürlichen n oberhalb einer festen Zahl [mm] n_0 [/mm] die gegebene Bedingung gilt.
Wie du selbst merkst, unterscheidet sich das von "Konvergenz" dadurch, daß die Aussage nur für ein einziges bestimmtes [mm] \varepsilon [/mm] gelten muß.
Fur [mm] a_n= \wurzel{n} [/mm] klappt das nicht. Nimm an, Du hättest so ein a und ein [mm] \varepsilon. [/mm] Du kannst zeigen daß es ein Folgenglied gibt, ab welchem [mm] a_n [/mm] weiter von a entfernt ist, als [mm] \varepsilon.
[/mm]
Die zweite Folge ist kovergent, das weißt Du oder solltest es wissen. Kovergenz ist eine schärfere Forderung als die zu untersuchende, also ???
>
> Mein Problem bei dieser Aussage ist, dass es nur für
> [mm]\exists \epsilon \in \IR[/mm] gilt. Falls da stehen würde für
> [mm]\forall \epsilon \in \IR[/mm] wäre es ja die genaue Definition
> für Konvergenz.
>
> 2. [mm]\forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon[/mm]
>
> Diese Aussag ist für mich völlig unveständlich. Soll das
> heißen; es gibt für jedes Epsilon einen Grenzwert a!?! Das
> würde doch keinen Sinn ergeben...!
Die Richtung Deines Gedankens stimmt.
Auch diese Aussage ist für gegen a konvergente Folgen unproblematisch. Man nimmt halt zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] immer ein und denselben Grenzwert a.
Und bei nichtkonvergenten Folgen?
Wenn man da für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] so'n a findet, an welches alle Folgenglieder schließlich beliebig dicht heranrücken, hat man Konvergenz, oder?
>
> 3. [mm]\exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon[/mm]
>
> Die Aussage ist doch trivial, oder?
Ich muß eine generelle, sehr ernst zu nehmende Warnung aussprechen: sei äußerst vorsichtig mit dem Gebrauch des Wörtchens "trivial"... Also, mit mir kannst Du's gerade noch so machen, aber die "Chefs" sind da sehr empfindlich, insbesondere wenn jemand nicht die dicke Ahnung hat. Wer "trivial" sagt, dem wird aufs Zahnfleisch gefühlt, und man muß sich vorher überlegen, ob man das will... Nur für echte Könner zu empfehlen!
Denn man könnte ja
> immer irgendein Epsilon wählen, für das die Aussage gelten
> würde...! Oder sehe ich das falsch?
Mit [mm] "\varepsilon [/mm] wählen" ist hier nichts. Die Aussage muß für alle [mm] \varepsilon [/mm] gelten.
Es ist eine Verschärfung der Konvergenzbedingung. Bei Konvergenz sucht man sich in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes [mm] n_0=n_0(\varepsilon).
[/mm]
Hier ist die Frage: gibt es ein festes, von [mm] \varepsilon [/mm] unabhängiges [mm] n_0, [/mm] für das die Aussage gilt?
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Mo 21.11.2005 | | Autor: | scrabby |
also schon mal vielen dank für die tolle antwort. hab jetzt noch eine kleine zusatzfrage zu:
> > 3. [mm]\exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon[/mm]
da es ein festes [mm] n_0 [/mm] geben soll kann diese aussage doch nur für konstante folgen gelten oder?
und wie schriebe ich den beweis für die divergenz von [mm] \wurzel{n} [/mm] denn am besten auf.
vielen dank
mfg michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Mo 21.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > > 3. [mm]\exists a \in \IR : \exists n_0 \in \IN : \forall \epsilon \in \IR , \epsilon > 0 : \forall n \in \IN , n \ge n_0 : | a_n - a| < \epsilon[/mm]
>
> da es ein festes [mm]n_0[/mm] geben soll kann diese aussage doch nur
> für konstante folgen gelten oder?
richtig
> und wie schriebe ich den beweis für die divergenz von
> [mm]\wurzel{n}[/mm] denn am besten auf.
Versuch dich erstmal und stells wenn du unsicher bist hierrein. Man lernt nur durch selbermachen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Mitch |
hey erstmal besten Dank an angela für die super Antwort!
Aber mir ist nicht ganz klar wieso die zweite Folge [mm] a_n = \bruch {1}{3^n} [/mm] konvergent sein soll! Für n gegen +unendlich geht sie natürlich gegen 0, aber für -unendlich läuft sie gegen unendlich und wäre somit doch nicht konvergent! Oder sehe ich gerade mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht? 
Bei der Folge [mm] a_n = (-1)^n + \bruch {1}{n} [/mm] stellt sich mir auch die Frage, ob die Folge konvergent ist. Für alle geraden n gegen +/-unendlich läuft sie gegen 1 und für alle ungeraden n gegen +/-unendlich läuft sie gegen 0! Damit hat die Folge doch 2 Grenzwerte und müsst auch konvergent sein, oder nicht?!
Kann mir dabei irgendwer helfen? Ich glaube ich habe gerade einfach nur n Brett vorm Kopf....!
Schönen Abend noch!
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Di 22.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Mitch
> Aber mir ist nicht ganz klar wieso die zweite Folge [mm]a_n = \bruch {1}{3^n}[/mm]
> konvergent sein soll! Für n gegen +unendlich geht sie
> natürlich gegen 0, aber für -unendlich läuft sie gegen
> unendlich und wäre somit doch nicht konvergent! Oder sehe
> ich gerade mal wieder den Wald vor lauter Bäumen nicht?
was soll denn gegen -Unendl!! n ist doch aus [mm] \IN
[/mm]
> Bei der Folge [mm]a_n = (-1)^n + \bruch {1}{n}[/mm] stellt sich mir
> auch die Frage, ob die Folge konvergent ist. Für alle
> geraden n gegen +/-unendlich läuft sie gegen 1 und für alle
> ungeraden n gegen +/-unendlich läuft sie gegen 0! Damit hat
> die Folge doch 2 Grenzwerte und müsst auch konvergent sein,
> oder nicht?!
Nein! Sieh dir die Definition von konvergent an! in Mathe MUSST du lernen mit Def. immer und immer wieder umzugehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
Okay danke Leduart, n kann ja nur eine natürliche Zahl sein!
Und zu der zweiten Folge $ [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm] + [mm] \bruch [/mm] {1}{n} $ ; heißt das jetzt, dass die divergent ist?! Aber sie besitzt ja trotzdem 2 Grenzwerte...!
Gruß Mitch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Mitch!
> Aber sie besitzt ja trotzdem 2 Grenzwerte...!
Das sind keine Grenzwerte sondern Häufungspunkte !! Es kann nur einen geben , also Grenzwert meine ich!
Und die Existenz von mehr als einem Häufungspunkt bedeutet also ...?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:19 Di 22.11.2005 | | Autor: | Mitch |
ach solche "Grenzwerte" nennt man also Häufungspunkte.
Daraus kann man dann ja schließen, dass die Folge zwei Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten besitzt. Somit ist sie dievrgent! Richtig?
Übrigens cooler Studiengang! Ich habe auch 2 Semester Bauing.wesen in Aachen studiert...!
Schönen Tag noch,
Gruß Mitch
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Richtig!
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