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Forum "Folgen und Reihen" - Folgen Eigenschaften
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Folgen Eigenschaften: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 So 09.11.2014
Autor: dodo1924

Aufgabe 1
Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] zwei Folgen, sodass [mm] (a_n b_n) [/mm] eine Nullfolge ist. Gilt dann, dass [mm] (a_n) [/mm] oder [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge sein muss?

Aufgabe 2
Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die [mm] K_0 [/mm] = -3 eine obere und [mm] K_u [/mm] = -12 eine untere Schranke ist.

Zuerst zu Aufgabe 1:
lt. Satz aus der Vorlesung weiß ich,dass
wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = a und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n [/mm] = b, dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n b_n=a*b [/mm]

Jetzt gilt ja nach Regeln der Multiplikation:
a*b=0 [mm] \gdw [/mm] a=0 oder b=0

Reicht das hier für die Begründung, dass [mm] a_n [/mm] oder [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge sein muss?


Zu Aufgabe 2:
Hier habe ich mir folgende Folge überlegt:

[mm] a_n=-6+(-1)^n*\frac{6}{n} [/mm]

Daraus ergeben sich die Folgeglieder -12, -3, -8, -4.5,...

Muss ich hier noch irgendwas bzgl beschränktheit zeigen, oder habe ich eurer meinung nach die aufgabe bereits erfüllt?

        
Bezug
Folgen Eigenschaften: Aufgabe 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:15 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

vorweg: Der wirkliche Tipp zur Aufgabe steht unten (rotmarkiert)!

> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] zwei Folgen, sodass [mm](a_n b_n)[/mm] eine
> Nullfolge ist. Gilt dann, dass [mm](a_n)[/mm] oder [mm](b_n)[/mm] eine
> Nullfolge sein muss?
>  Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die
> alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die
> [mm]K_0[/mm] = -3 eine obere und [mm]K_u[/mm] = -12 eine untere Schranke
> ist.
>  Zuerst zu Aufgabe 1:
>  lt. Satz aus der Vorlesung weiß ich,dass
>  wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = a und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm] = b, dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n b_n=a*b[/mm]
>  
> Jetzt gilt ja nach Regeln der Multiplikation:
>  a*b=0 [mm]\gdw[/mm] a=0 oder b=0
>  
> Reicht das hier für die Begründung, dass [mm]a_n[/mm] oder [mm]b_n[/mm]
> eine Nullfolge sein muss?

Du scheinst Dir selbst unsicher zu sein - weißt Du auch, warum? Weil der
Satz der Vorlesung ja die Voraussetzung hat, dass beide Folgen konvergieren.

Wie sieht es aber mit

    $0=0*n$

aus (also [mm] $(a_n)_n \equiv (0)_n$ [/mm] und [mm] $(b_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $b_n:=n$)? [/mm]

Oder

    [mm] $0=0*(-1)^n$? [/mm]

Solche Fälle ("konvergent * divergent") hast Du gar nicht erfassst. (Man kann
sich überlegen, ob in einem solchen Fall die konvergente Folge vielleicht
*speziell* sein muss; aber das nur nebenbei...)

Jetzt aber der eigentliche Tipp zur Aufgabe (den Fall "divergent*divergent"
haben wir dann oben auch noch nicht behandelt):
Betrachte

    [mm] $a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (-1)^{(n+1)/2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm]

und

    [mm] $b_n:=\begin{cases} (-1)^{n/2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm]

Hier ist durchweg [mm] $a_n*b_n=0\,,$ [/mm] insbesondere also

    [mm] $a_n*b_n=0 \to 0\,.$ [/mm]

Aber weder [mm] $(a_n)_n$ [/mm] noch [mm] $(b_n)_n$ [/mm] kann Nullfolge sein, weil...?

Leider muss ich jetzt weg, aber dann darf jemand anderes auf Aufgabe
2 antworten...

Gruß,
  Marcel

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Folgen Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:36 So 09.11.2014
Autor: dodo1924

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Die Folgen können keine Nullfolgen sein, weil sie divergent sind und somit nicht gegen 0 konvergieren.

Kann ich bei den Folgen nicht der Einfachheit halber annehmen, dass:


    $ a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} $

und

    $ b_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} $

Weil es gilt ja auch, wenn eine Folge zwei Teilfolgen hat, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, ist sie divergent!
Hier konvergiert ja dann a_{2n} gegen 0 und a_{2n-1} gegen 1, bzw bei den Teilfolgen von b_n umgekehrt.

Bezug
                        
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Folgen Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 So 09.11.2014
Autor: fred97


> Die Folgen können keine Nullfolgen sein, weil sie
> divergent sind und somit nicht gegen 0 konvergieren.
>  
> Kann ich bei den Folgen nicht der Einfachheit halber
> annehmen, dass:
>  
>
> [mm]a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]b_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Weil es gilt ja auch, wenn eine Folge zwei Teilfolgen hat,
> die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, ist sie
> divergent!
>  Hier konvergiert ja dann [mm]a_{2n}[/mm] gegen 0 und [mm]a_{2n-1}[/mm] gegen
> 1, bzw bei den Teilfolgen von [mm]b_n[/mm] umgekehrt.

Ja, [mm] a_n*b_n [/mm] =0 für jedes n.

FRED


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Folgen Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 So 09.11.2014
Autor: dodo1924

Noch eine letzte (doofe) frage:
ist es überhaupt erlaubt, solche reihen zu definieren?
bis jetzt hatten wir, wenn wir alternierende reihen hatten, immer so etwas:

[mm] a_n=(-1)^n*... [/mm] also eine reihe mit wechselndem vorzeihen!

Ist es mathematisch erlaubt, eine Reihe mit Fallunterscheidung zu definieren??

lg

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Folgen Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Noch eine letzte (doofe) frage:

das ist keine doofe, sondern eine *etwas am Thema vorbei*-Frage. Ich
sage Dir aber gleich, warum!

>  ist es überhaupt erlaubt, solche reihen zu definieren?

Es geht um Folgen, nicht um Reihen - natürlich sind Reihen sozusagen
erst mal wieder spezielle Folgen...

>  bis jetzt hatten wir, wenn wir alternierende reihen
> hatten, immer so etwas:
>  
> [mm]a_n=(-1)^n*...[/mm] also eine reihe mit wechselndem vorzeihen!
>  
> Ist es mathematisch erlaubt, eine Reihe mit
> Fallunterscheidung zu definieren??

Warum soll es nicht erlaubt sein, etwas mit Fallunterscheidung zu definieren
(nach wie vor geht es aber um FOLGEN!).

Was nicht erlaubt wäre, wäre

    [mm] $a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \in \IP \\ 2, & \mbox{für } n \in \IN \setminus \{p \in \IP \mid p \text{ ungerade}\} \end{cases}$ [/mm]

[mm] ($\IP:=\{n \in \IN \mid n \text{ ist prim!}\}$.) [/mm]

Warum nicht? (Ich gebe zu, es ist ein wenig versteckt. Hinweis: Was wäre
[mm] $a_2$?) [/mm]

Oder auch

    [mm] $a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \le 10 \\ 10, & \mbox{für } n \ge 10 \end{cases}\,.$ [/mm]

(Warum? Achte genau auf die Ungleichheitszeichen!)

Erlaubt wäre aber (bei Funktionen)

    [mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \le 1 \\ 1, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases}$ [/mm]

Womit das Ganze zu tun hat? Mit der Rechtseindeutigkeit:

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29#Mengentheoretische_Definition

Siehe auch

    []Seite 2

Gruß,
  Marcel

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Folgen Eigenschaften: Aufgabe 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:48 So 09.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Man gebe ein Beispiel für eine Zahlenfolge an, die
> alternierend ihrem Grenzwert a = -6 zustrebt und für die
> [mm]K_0[/mm] = -3

Hier ist wohl [mm] K_{\text{obere Schranke}}=K_{\text{o}}=-3 [/mm] und nicht [mm] K_{0} [/mm] gemeint.

> eine obere und [mm]K_u[/mm] = -12 eine untere Schranke
> ist.

Mit meiner Verbesserung oben passt auch diese Bezeichnung.

> Zu Aufgabe 2:
>  Hier habe ich mir folgende Folge überlegt:
>  
> [mm]a_n=-6+(-1)^n*\frac{6}{n}[/mm]

Richtig.

> Daraus ergeben sich die Folgeglieder -12, -3, -8, -4.5,...
>  
> Muss ich hier noch irgendwas bzgl beschränktheit zeigen,
> oder habe ich eurer meinung nach die aufgabe bereits
> erfüllt?

Du hast die Aufgabe mit der Angabe von [mm] a_n [/mm] gelöst, allerdings
solltest du noch kurz begründen wieso [mm] a_n [/mm] gegen [mm] $-6\$ [/mm] konvergiert
und wieso [mm] -12=K_{\text{u}}\le a_n\le K_{\text{o}}=-3 [/mm] gilt.

(Das verlangt zwar nicht die Aufgabe, aber sicher ist sicher.)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Folgen Eigenschaften: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:28 Di 11.11.2014
Autor: dodo1924

Meine Begründung wäre, dass ich die Folge in 2 Teilfolgen teilen kann:
wobei [mm] a_{2k} [/mm] eine monoton fallende und [mm] a_{2k-1} [/mm] eine monoton steigende folge ist.
jetzt gilt noch, dass [mm] min(a_{2k-1})=-12 [/mm] und [mm] max(a_{2k})=-3 [/mm] (aufgrund der monotonie)!
Weiters gilt, dass sich beide Teilfogen denselben grenzwert annähern, nämlich -6!

Wäre das genug begründung?

Bezug
                        
Bezug
Folgen Eigenschaften: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Di 11.11.2014
Autor: DieAcht


> Meine Begründung wäre, dass ich die Folge in 2 Teilfolgen
> teilen kann:
> wobei [mm]a_{2k}[/mm] eine monoton fallende und [mm]a_{2k-1}[/mm] eine
> monoton steigende folge ist.

Die Teilfolgen explizit aufschreiben schadet hier nicht. Die
Begründung der Monotonie der Teilfolgen fehlt übrigens.

> jetzt gilt noch, dass [mm]min(a_{2k-1})=-12[/mm] und [mm]max(a_{2k})=-3[/mm]
> (aufgrund der monotonie)!

Wegen [mm] a_{2k-1} [/mm] monoton steigend ist

      [mm] \min_{k\in\IN}(a_{2k-1})=a_{2*1-1}=a_{1}=-12 [/mm]

und wegen [mm] a_{2k} [/mm] monoton fallend ist

      [mm] \max_{k\in\IN}(a_{2k})=a_{2*1}=a_{2}=-3. [/mm]

> Weiters gilt, dass sich beide Teilfogen denselben
> grenzwert annähern, nämlich -6!

1. Sei [mm] a_n [/mm] eine Folge, die gegen [mm] $a\$ [/mm] konvergiert. Der Grenzwert
   der Folge [mm] a_n [/mm] geht dann nicht gegen [mm] $a\$, [/mm] sondern er ist [mm] $a\$. [/mm]
   Grenzwerte sind bereits angekommen!

2. Ist [mm] a_n [/mm] eine Folge, die gegen [mm] $a\$ [/mm] konvergiert, dann konvergiert
   auch jede Teilfolge [mm] a_{n_k} [/mm] gegen (den selben Grenzwert) [mm] $a\$. [/mm]

3. Ich hatte dir nicht ohne Grund zunächst vorgeschlagen die
   Konvergenz der Folge [mm] a_n [/mm] gegen [mm] $-6\$ [/mm] zu begründen und dann
   erst die Behauptung

         [mm] -12=K_{\text{u}}\le a_n\le K_{\text{o}}=-3 [/mm]

   wieder aufzugreifen. Wenn wir nämlich zeigen, dass

         [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=-6, [/mm]

   dann gilt nach 2. auch

         [mm] \lim_{k\to\infty}a_{2k}=-6\text{ und }\lim_{k\to\infty}a_{2k-1}=-6. [/mm]

> Wäre das genug begründung?

Das ist hier zwar eine gute Übung, aber auch unnötig. Es ist

      [mm] \lim_{n\to\infty}\left((-1)^n*\frac{6}{n}\right)=0, [/mm]

denn das Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist
wieder eine Nullfolge, so dass wir mit den Grenzwertsätzen erhalten

      [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(-6+(-1)^n*\frac{6}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(-6\right)+\lim_{n\to\infty}\left((-1)^n*\frac{6}{n}\right)=-6. [/mm]

Außerdem gilt offensichtlich

      [mm] $-6-\frac{6}{n}\le a_n\le -6+\frac{6}{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm]

so dass ... (It's your turn!)

Bezug
                                
Bezug
Folgen Eigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Di 11.11.2014
Autor: fred97

Noch einfacher:

[mm] |a_n+6|=\bruch{6}{n} [/mm]

FRED

Bezug
                                        
Bezug
Folgen Eigenschaften: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Mi 12.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,


> Noch einfacher:
>  
> [mm]|a_n+6|=\bruch{6}{n}[/mm]

Ja, darauf wollte ich hinaus. Ich muss aber gestehen, dass ich
das auch von irgendeinem Beitrag von dir gesehen und mir ein-
geprägt habe. Vielen Dank! :-)

Und damit der Fragesteller sich nicht verläuft:

Schreibe die Ungleichung

      [mm] $-6-\frac{6}{n}\le a_n\le -6+\frac{6}{n}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm]

äquivalent um. Was folgt daraus und wie kannst du diese Eigen-
schaft benutzen um deinen Beweis "eleganter" zu machen?


Gruß
DieAcht

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