Folgen&Reihen-beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Fr 15.04.2011 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | [mm] \(an:=(-1)^n \bruch{3n^2+5}{2n^2}
[/mm]
für [mm] \(n=1,2,3... [/mm] |
Hallo, ich soll die BEschränktheit dieser funktion Folge beweisen.
Muss ich nun für jeden die einzelnen n werte einsetzen und sehen, was sich ergibt?
[mm] \((-1)^n [/mm] --> Folge ist alternierend
Ergebnisse sind
[mm] \(a(1)=-4
[/mm]
[mm] \(a(2)=2\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] \(a(3)=-1\bruch{7}{9}
[/mm]
[mm] \(a(4)=1\bruch{21}{32}
[/mm]
Die Ergebnisse zeigen, dass sich die Folge richtung 0 bewegt, d.h. Grenzwert=0
Infimum bei [mm] \(-4
[/mm]
Supremum bei [mm] \(2\bruch{1}{8}
[/mm]
AAußerdem habe ich gelesen, dass Konvergente Folgen stets beschrenkt sind. Wäre es evtl schneller, die BEschränktheit über diesen Weg zu beweisen?
Wenn ja, wie bestimme ich die konvergenz...?
|
|
| |
|
Hallo Mario,
> Muss ich nun für jeden die einzelnen n werte einsetzen und
> sehen, was sich ergibt?
Für eine Idee ist das schlecht, für einen Beweis aber gänzlich ungeeignet.
Du betrachtest ja immer nur endlich viele Glieder und bei Folgen sind endlich viele Glieder immer vernachlässigbar.
> [mm]\((-1)^n[/mm] --> Folge ist alternierend
Naja, das so hinzuschreiben ist auch etwas knapp, stimmt aber.
[mm] $b_n [/mm] = [mm] (-1)^n (-3)^n [/mm] $ ist trotz [mm] (-1)^n [/mm] schliesslich auch nicht alternierend.
> Ergebnisse sind
>
> [mm]\(a(1)=-4[/mm]
> [mm]\(a(2)=2\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]\(a(3)=-1\bruch{7}{9}[/mm]
> [mm]\(a(4)=1\bruch{21}{32}[/mm]
Kann sein 
> Die Ergebnisse zeigen, dass sich die Folge richtung 0
> bewegt, d.h. Grenzwert=0
Woran erkennst du das?
Die Aussage ist übrigens falsch, die Folge hat keinen Grenzwert, nur 2 Häufungspunkte. Welche?
> Infimum bei [mm]\(-4[/mm]
>
> Supremum bei [mm]\(2\bruch{1}{8}[/mm]
Jo, damit wärst du doch aber fertig, wenn du das gezeigt hättest!
Warum?
> AAußerdem habe ich gelesen, dass Konvergente Folgen stets
> beschrenkt sind. Wäre es evtl schneller, die
> BEschränktheit über diesen Weg zu beweisen?
Wäre gar nicht schlecht, hilfreich wäre hier noch der Satz:
[mm] $a_n$ [/mm] beschränkt [mm] $\gdw |a_n|$ [/mm] beschränkt
Was ist [mm] |a_n| [/mm] hier und wogegen konvergiert es?
> Wenn ja, wie bestimme ich die konvergenz...?
Im Zähler und Nenner [mm] n^2 [/mm] ausklammern und dann Grenzwertsätze benutzen.
Tip: 0 ist falsch.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 15.04.2011 | | Autor: | m4rio |
Ok, beginne ich mal mit der Konvergenz...
[mm] \((-1)^n \bruch{3n^2+5}{2n^2}
[/mm]
[mm] \((-1)^n \bruch{3+\bruch{5}{n^2}}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{5}{n^2} [/mm] ergibt eine Nullfolge? also müsste das Ergebnis doch
[mm] \pm \bruch{3}{2} [/mm] sein ...
wären diese Punkte dann die Häufungspunkte oder sind es das Infimum & supremum?
Ist die Folge mit 2 verschiedenen Häufungspunkten nicht divergent? würde dies bedeuten, dass sie nicht beschränkt ist??
Gruß
|
|
|
| |
|
Huhu,
> [mm]\bruch{5}{n^2}[/mm] ergibt eine Nullfolge? also müsste das
> Ergebnis doch
>
> [mm]\pm \bruch{3}{2}[/mm] sein ...
Korrekt.
> wären diese Punkte dann die Häufungspunkte oder sind es
> das Infimum & supremum?
Infimum und Supremum hattest du doch schon bestimmt.
Es sind also HP. Du solltest dringend Definitionen nacharbeiten!
> Ist die Folge mit 2 verschiedenen Häufungspunkten nicht divergent?
Korrekt.
> würde dies bedeuten, dass sie nicht beschränkt ist??
Nö, sie könnte trotzdem beschränkt sein.
Wieso hast du den Tip mit
[mm] a_n [/mm] beschränkt [mm] \gdw |a_n| [/mm] beschränkt ignoriert?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:50 Sa 16.04.2011 | | Autor: | ggg |
Hi,
Ich würde als aller erstes sowohl den Limes Superior als auch den Limes Inferior berechnen. Aus den beiden ermittelten Grenzwerte folgt ja unmittelbar das sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Noch mal kurz zu deiner Frage: Wenn eine Folge einen Limes Superior und einen Limes Inferior hat, so hast du gezeigt das sie beschränkt ist, also nach oben und nach unten beschränkt ist. Damit hast du ebenso gezeigt das sie 2 Häufungswerte hat, da der Limes Superior der größte Häufungswert und der Limes Inferior der kleinste Häufungswert einer beschränkten Folge ist.
Nun zu Aufgabe:
Am besten ist du zerlegst den Term etwas übersichtlicher:
[mm] \((-1)^n \bruch{3n^2+5}{2n^2} [/mm] = [mm] \((-1)^n \bruch{3n^2}{2n^2}+\bruch{5}{2n^2}= \((-1)^n \bruch{3}{2}+\bruch{5}{2n^2}
[/mm]
Damit du den Limes Superior ermittelst, ist es am sinnvollsten für n=2i [mm] \forall i\in\IN\setminus\{0\} [/mm] einzusetzen und für den Limes Inferior n=2i+1 [mm] \forall i\in\IN\setminus\{0\}, [/mm] damit du durch das umwandeln des n von [mm] \((-1)^n [/mm] die Gleichung für den (sowohl positiven als auch negativen) allgemeinen Fall untersuchen kannst.
mfg
Jonas
|
|
|
|
