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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden Folgen:
[mm] a:= \wurzel {n} * ( \wurzel {n+1} - \wurzel {n-1}) [/mm]
[mm]b := \bruch {3^{2n} + 1} {9^{n+1} -5} [/mm]
[mm]c := \bruch {n^1 * 5 - n^2}{2n^1 * 6 + n^1 * 4} [/mm] |
Hey, ich bin leider schon einige Jahre aus der Schule raus und habe ganz generell das Gefühl, derartiges nie bearbeitet zu haben. Man möge daher Rücksicht mit mir üben, wenn ich wirklich wenig Ahnung besitze :D
Für a habe ich für[mm] x [mm] \rightarrow \infty [/mm] ebenfalls [mm] \infty [/mm] heraus, (ergo keine Konvergenz, keinen Grenzwert!?)
Für b denke ich mal spontan an Logarithmus/e-Funktion, habe aber keinen Schimmer, wie das aussehen müsste (hier lässt mich auch mein treuer Dörsam im Stich)
Für c erhalte ich als Grenzwert -1
Für Hilfe wäre ich natürlich überaus dankbar, und entschuldige mich jetzt schon mal für die Unannehmlichkeiten =]
lg, Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich weiß nicht obd as stimmt, aber spontan würde ich sagen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a=0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b=\bruch{1}{9}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c=hab [/mm] nicht drüber nachgedacht :]
zu a) Wenn n gegen unendlich geht steht unter den Wurzeln ja ca. das selbe, weil ja das +1 und -1 kaum noch Einfluss haben. Nunja, eine Zahl - die selbe Zahl = 0. Der Faktor vor der Klammer geht gegen unendlich. Aber trotzdem glaube ich, dass die Klammer, die gegen 0 geht, überwiegt. Entweder der Grenzwert ist 0, oder eine feste Zahl, aber keinesfalls unendlich.
zu b) Ich glaube, dass du mir zustimmst, dass die +1 und -5 auch egal sind für n gegen unendlich. Also muss man [mm] 3^{2n} [/mm] und [mm] 9^{n+1} [/mm] betrachten.
[mm] 3^{2n} [/mm] lässt sich auch als [mm] 9^n [/mm] schreiben und [mm] 9^{n+1} [/mm] lässt sich als [mm] 9^n*9 [/mm] schreiben.
Für n gegen unendlich braucht mal also nur [mm] \bruch{9^n}{9^n*9} [/mm] betrachten. [mm] 9^n [/mm] kürzen sich weg und [mm] \bruch{1}{9} [/mm] bleibt stehen als Grenzwert.
Ist beides nich bewiesen, aber vielleicht ein kleiner Denkanstoß ;)
EDIT: a stimmt nicht, aber eine natürliche Zahl kommt trotzdem als renzwert raus ;) wie ich es gesagt habe.
b stimmt so, man müsste es nur noch besser beweisen, aber vielleicht kriegst du das ja irgendwie hin! Meistens hilft da irgendwas ausklammern.
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Das zu b) klingt schonmal gut, da merkt man, wie sehr ich raus bin.
Zu a) dachte ich mir folgendes. Es ist sicher richtig, dass die Klammer kaum in Betracht fällt, aber (!, so dachte ich mir), sie muss ja immer positiv bleiben. Wenn ich nun davor ein [mm] \infty [/mm] * meinetwegen irgendwas um die 1 rum habe, ist das doch immer noch unendlich, oder?
Vielen Dank schonmal für die Antwort =)
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Hallo Leute
Ich glaube nicht ganz, dass das alles richtig ist. Und versucht eure Gedanken und Umformungen auf zu schreiben.
a: Versuche den Term mit ( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1}) [/mm] zu erweitern und danach im Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] auszuklammern. Erst nach diesem Schritt kannst du eine Aussage über den Grenzwert machen.
Nochmal allgemein gesagt, du musst den zu Term stets so umformen, dass du klare aussagen über ihn treffen kannst. Man darf nicht einfach sagen, dass sieht sehr gleich aus, das ignoriere ich, im unendlichen spielt es öffters eine Rolle. Halte dich strickt an Grenzwertregeln.
b: Ich denke auch, dass hier [mm] \bruch{1}{9} [/mm] richtig ist
c: Also c verstehe ich nicht ganz, soll das überall n hoch 1 heißen? Wenn das so ist, dann kann man den Nenner zusammefassen und n kürzen. Danach sollte eine Grenzwert einschätzung möglich sein!
Gruß
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zu c) Ja, soll es. Steht auch so im Zettel. Hab ich persönlich noch nie so gesehen (ist auch nicht der Stil des Profs eigentlich), bin daher auch einfach von n ausgegangen. Habe [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert und merke gerade, dass dann im Zähler -1 stehenbliebe, der Nenner aber gegen 0 geht, das wäre dann wohl - [mm] \infty [/mm] , wenn ichs mir recht überlege
Die a hingegen wird immer verwirrender... =/
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zu a) Wenn du es erweiterst, dann kannst du den Zähler vereinfachen, da man die dritte binomische Formel anwenden kann.
( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1})( \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1})=n+1-n+1=2
[/mm]
Für den Nenner: ( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n-1})=( \wurzel{1+\bruch{1}{n}} [/mm] + [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{n}})*\wurzel{n}
[/mm]
Nun kannst du [mm] 2\wurzel{n} [/mm] kürzen und den grenzübergang machen und es bleibt 1 übrig!
zu c) versuche mal nur n zu kürzen
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Danke schonmal, vor allem für die schnelle Hilfe, die Ergebnisse gibts Donnerstag, aber ich war heute schonmal beruhigt, dass viele meine Probleme und auch viele meine Ergebnisse hatten ;)
(was für ein Thema brrrr)
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