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| Aufgabe | | In welchen Punkten ist die Funktion [mm] g(x):=[x]+(x-[x])^{\bruch{1}{2}} [/mm] stetig ? |
1) Als komposition stetiger Funktionen, ist diese Funktion [mm] \forall x\in\IR\\IZ [/mm] stetig.
Sei nun [mm] x\in\IZ. [/mm] Zu zeigen ist doch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)
[/mm]
Okay. Da ich nun nicht weiss ob sie in diesem Punkt stetig ist, nehme ich mir erstmal eine folge die sich von links dem z annährt.
Also z.B. die Folge [mm] (z-\bruch{1}{n})
[/mm]
Setze ich dies nun in die Linkeseite der Stetigkeitsbedinung ein, so erhalte ich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(z-\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}[z-\bruch{1}{n}]+(z-\bruch{1}{n}-[z-\bruch{1}{n}])^{\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}[z-1]+(z-\bruch{1}{n}-z+1)^{\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}z-1+(-\bruch{1}{n}+1)^{\bruch{1}{2}}=z-1+(1)^{\bruch{1}{2}}=z=f(z)
[/mm]
Wäre das so erstmal richtig ?
Das wäre nun erstmal eine spezielle Folge. Daraus kann ich schonmal schließen dass die Funktion nun in [mm] z\in\IZ [/mm] stetig ist.
Nun muss ich dass nur noch für jede beliebige Folge zeigen und bin fertig oder ?
Irgendwer meinte zu mir man müsse den rechtsseitigen und den linksseitigen Limes betrachten. Aber ist das nicht genau dass, was ich hier gemacht habe, oder müsste ich das nochmal mit einer Folge [mm] (z+\bruch{1}{n}) [/mm] machen ?
Vielen dank schonmal. Stetigkeit mit Folgen verstehe ich leider überhaupt nicht.
mfg. Hellsing
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In welchen Punkten ist die Funktion
> [mm]g(x):=[x]+(x-[x])^{\bruch{1}{2}}[/mm] stetig ?
> 1) Als komposition stetiger Funktionen, ist diese Funktion
> [mm]\forall x\in\IR\\IZ[/mm] stetig.
es ist richtig, dass diese Funktion auf [mm] $\IR\setminus \IZ$ [/mm] in trivialer Weise stetig ist. Aber da müssen mehrere Argumente stehen: Auch, dass Summen stetiger Funktionen stetig sind und etwa, dass die Funktion [mm] $\sqrt{.}: [0,\infty) \to \IR$ [/mm] stetig ist...
> Sei nun [mm]x\in\IZ.[/mm] Zu zeigen ist doch
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)[/mm]
>
> Okay. Da ich nun nicht weiss ob sie in diesem Punkt stetig
> ist, nehme ich mir erstmal eine folge die sich von links
> dem z annährt.
Es ist [mm] $z=x\,$? [/mm] Du solltest Dich für eine Variablenbezeichnung entscheiden (beides macht irgendwie Sinn: [mm] $x\,$ [/mm] als Grenzwert von [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] und [mm] $z\,,$ [/mm] weil man damit normalerweise erinnert wird an $z [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Aber hier musst Du dann, damit beides in Erinnerung bleibt, erstmal $z:=x$ setzen und dann zur Erinnerung an beide Sachen vermutlich immer [mm] $x=z\,$ [/mm] schreiben)!!
> Also z.B. die Folge [mm](z-\bruch{1}{n})[/mm]
>
> Setze ich dies nun in die Linkeseite der
> Stetigkeitsbedinung ein, so erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(z-\bruch{1}{n})=\limes_{n\rightarrow\infty}[z-\bruch{1}{n}]+(z-\bruch{1}{n}-[z-\bruch{1}{n}])^{\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}[z-1]+(z-\bruch{1}{n}-z+1)^{\bruch{1}{2}}=\limes_{n\rightarrow\infty}z-1+(-\bruch{1}{n}+1)^{\bruch{1}{2}}=z-1+(1)^{\bruch{1}{2}}=z=f(z)[/mm]
>
> Wäre das so erstmal richtig ?
Ich hab's - ehrlich gesagt - gar nicht nachgerechnet. (Ist mir zu spät, und außerdem hilft hier ein Plot der Funktion auch schon viel weiter!)
> Das wäre nun erstmal eine spezielle Folge. Daraus kann
> ich schonmal schließen dass die Funktion nun in [mm]z\in\IZ[/mm]
> stetig ist.
Mit einer speziellen (gegen $x [mm] \in \IZ$ [/mm] konvergenten) Folge kannst Du höchstens erstmal - wie hier - den Hinweis bekommen, dass die Funktion an der betrachteten Stelle [mm] $x\,$ [/mm] stetig sein könnte. Das bringt nicht wirklich viel. Oder aber Du könntest dann schon sehen, dass die Funktion eben nicht stetig ist.
> Nun muss ich dass nur noch für jede beliebige Folge zeigen
> und bin fertig oder ?
Nein, nicht jede beliebige Folge. Sondern: (Ich bleibe mal bei Deiner Schreibweise):
Ist $x=z [mm] \in \IZ$ [/mm] und ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge im Definitionsbereich (hier also in [mm] $\IR$) [/mm] mit [mm] $x_n \to x=z\,,$ [/mm] so ist zu zeigen, dass dann auch schon [mm] $f(x_n) \to f(x)\;\,(=f(z))$ [/mm] konvergiert.
(Es geht also um jede beliebige GEGEN [mm] $x=z\,$ [/mm] konvergente Folge!)
Beachte: Wir wissen schon die Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \IZ\,,$ [/mm] und obiges ist quasi die Vermutung, dass [mm] $g\,$ [/mm] auch auf [mm] $\IZ$ [/mm] stetig ist. Wenn dem so ist: Damit ist [mm] $g\,$ [/mm] stetig (auf [mm] $\IR$)!
[/mm]
> Irgendwer meinte zu mir man müsse den rechtsseitigen und
> den linksseitigen Limes betrachten. Aber ist das nicht
> genau dass, was ich hier gemacht habe, oder müsste ich das
> nochmal mit einer Folge [mm](z+\bruch{1}{n})[/mm] machen ?
Nee: Mit [mm] $x_n=z+1/n$ [/mm] näherst Du Dich MIT EINER SPEZIELLEN FOLGE rechtsseitig an [mm] $z=x\,$ [/mm] an, mit [mm] $\tilde{x}_n=z-1/n$ [/mm] MIT EINER SPEZIELLEN FOLGE von links.
> Vielen dank schonmal. Stetigkeit mit Folgen verstehe ich
> leider überhaupt nicht.
Es ist eigentlich ganz einfach:
Sei $x=z [mm] \in \IZ$ [/mm] beliebig, aber fest. Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $\IR\,,$ [/mm] die zudem nur mit der Eigenschaft ausgestattet sei, dass [mm] $x_n \to [/mm] x=z$ gilt.
Dann ist zu zeigen, dass auch schon [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$ folgt.
Das kann man nun hier auch direkt mit [mm] $(x_n)_n$ [/mm] machen: Man unterteilt hier dann [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in eine Teilfolge, die alle [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $x_n [/mm] < z$ enthält und in eine weitere, die alle [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \ge [/mm] z$ enthält.
Oder Du machst es halt wirklich so, wie vorgeschlagen:
Du betrachtest erst mal eine Folge [mm] $(x^{\ell}_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n^{\ell} [/mm] < x=z$ und [mm] $x_n^{\ell} \to [/mm] z$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] und zeigst, dass dann auch [mm] $f(x_n^{\ell}) \to f(z)\,.$
[/mm]
Und analog halt mit einer Folge, die gegen [mm] $z\,$ [/mm] konvergiert und wo alle Folgenglieder Werte [mm] $>z\,$ [/mm] haben.
Beachte: $x [mm] \mapsto [/mm] [x]$ ist unstetig an allen Stellen $z [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Du musst hier also wirklich genau überlegen, was per Definitionem von [mm] $g\,$ [/mm] an den Stellen $z [mm] \in \IZ$ [/mm] bei (echt) linksseitiger Annäherung an [mm] $z\,$ [/mm] und (echt) rechtsseitiger Annäherung an [mm] $z\,$ [/mm] passiert!
Dabei kannst Du auch immer o.E. schon annehmen, dass [mm] $|x_n-z| [/mm] < 1$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] gelte (warum?). Das hilft ein wenig!
Gruß,
Marcel
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Ersteinmal vielen dank, dass du dir gestern abend noch die Zeit genommen hast meine Frage zu beantworten.
> es ist richtig, dass diese Funktion auf [mm]\IR\setminus \IZ[/mm] in
> trivialer Weise stetig ist. Aber da müssen mehrere
> Argumente stehen: Auch, dass Summen stetiger Funktionen
> stetig sind und etwa, dass die Funktion [mm]\sqrt{.}: [0,\infty) \to \IR[/mm]
> stetig ist...
Okay werde ich mir merken. Ich hatte es so geschrieben, da wir das in den Vorlesungen auch immer nur so hingeschrieben haben. Aber genauer ist wahrscheinlich besser für eine Klausur.
> Es ist [mm]z=x\,[/mm]? Du solltest Dich für eine
> Variablenbezeichnung entscheiden (beides macht irgendwie
> Sinn: [mm]x\,[/mm] als Grenzwert von [mm](x_n)_n\,,[/mm] und [mm]z\,,[/mm] weil man
> damit normalerweise erinnert wird an [mm]z \in \IZ\,.[/mm] Aber hier
> musst Du dann, damit beides in Erinnerung bleibt, erstmal
> [mm]z:=x[/mm] setzen und dann zur Erinnerung an beide Sachen
> vermutlich immer [mm]x=z\,[/mm] schreiben)!!
Oh ist mir garnicht aufgefallen ^^
> Mit einer speziellen (gegen [mm]x \in \IZ[/mm] konvergenten) Folge
> kannst Du höchstens erstmal - wie hier - den Hinweis
> bekommen, dass die Funktion an der betrachteten Stelle [mm]x\,[/mm]
> stetig sein könnte. Das bringt nicht wirklich viel. Oder
> aber Du könntest dann schon sehen, dass die Funktion eben
> nicht stetig ist.
Ah okay. Wenn also bei dieser speziellen Folge schon [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\not=f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n) [/mm] wäre, dann könnte ich bereits schreiben, dass sie dort nicht stetig ist. Für Stetigkeit reicht dieses noch nicht aus, dort muss es ebend für jede beliebige gegen z (hier x:=z) konvergierende folgen aus dem Definitionsbereich gelten.
Undzwar linksseitig und rechtsseitig.
> Beachte: [mm]x \mapsto [x][/mm] ist unstetig an allen Stellen [mm]z \in \IZ\,.[/mm]
> Du musst hier also wirklich genau überlegen, was per
> Definitionem von [mm]g\,[/mm] an den Stellen [mm]z \in \IZ[/mm] bei (echt)
> linksseitiger Annäherung an [mm]z\,[/mm] und (echt) rechtsseitiger
> Annäherung an [mm]z\,[/mm] passiert!
Wenn ich von links komme, habe ich immer noch einen negativen Faktor in der Gaußklammer stehen, da ja jede Zahl abgerundet wird.
> Dabei kannst Du auch immer o.E. schon annehmen, dass
> [mm]|x_n-z| < 1[/mm] für alle [mm]n\,[/mm] gelte (warum?). Das hilft ein
> wenig!
> Gruß,
> Marcel
[mm] |x_n-z| [/mm] < 1[für alle n gilt, da die Reihe ja konvergiert. Somit ist kleiner als Epsilon, für jedes Epsiolon>0.
Also gibt es ein [mm] n_0\in\IN, [/mm] sodass ebend [mm] |x_n-z| [/mm] < 1 gilt.
Nur warum macht man dies ?
Mir würde jetz nur in den Sinn kommen, dass man ebend so sagen kann, dass [mm] [x_n]\in\{-1,0\} [/mm] ist. Da die Folge ja gegen 0, konvergiert und sich einmal von links, und einmal von rechts den Grenzwert nährt.
Ich habe mir natürlich auch deinen Kurzbeweis angeschaut.
Eins habe ich nur nicht verstanden nämlich h: [0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
Den damit wird der Definitonsbereich doch eingeschränkt oder nicht ? Wieso darf man also das Kompakte Intervall von [0,1] betrachten ?
Vielen dank,
mfg. Hellsing :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Do 12.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ersteinmal vielen dank, dass du dir gestern abend noch die
> Zeit genommen hast meine Frage zu beantworten.
gerne!
>
> > es ist richtig, dass diese Funktion auf [mm]\IR\setminus \IZ[/mm] in
> > trivialer Weise stetig ist. Aber da müssen mehrere
> > Argumente stehen: Auch, dass Summen stetiger Funktionen
> > stetig sind und etwa, dass die Funktion [mm]\sqrt{.}: [0,\infty) \to \IR[/mm]
> > stetig ist...
>
> Okay werde ich mir merken. Ich hatte es so geschrieben, da
> wir das in den Vorlesungen auch immer nur so hingeschrieben
> haben. Aber genauer ist wahrscheinlich besser für eine
> Klausur.
>
>
>
> > Es ist [mm]z=x\,[/mm]? Du solltest Dich für eine
> > Variablenbezeichnung entscheiden (beides macht irgendwie
> > Sinn: [mm]x\,[/mm] als Grenzwert von [mm](x_n)_n\,,[/mm] und [mm]z\,,[/mm] weil man
> > damit normalerweise erinnert wird an [mm]z \in \IZ\,.[/mm] Aber hier
> > musst Du dann, damit beides in Erinnerung bleibt, erstmal
> > [mm]z:=x[/mm] setzen und dann zur Erinnerung an beide Sachen
> > vermutlich immer [mm]x=z\,[/mm] schreiben)!!
>
> Oh ist mir garnicht aufgefallen ^^
So schlimm' ist das nicht. Aber es muss klar sein - und jeder Korrekteur wird Dir das bemängeln, wenn Du ihm ein [mm] $z\,$ [/mm] für ein [mm] $x\,$ [/mm] vormachst - und das [mm] $z\,$ [/mm] plötzlich vom Himmel fällt!
>
> > Mit einer speziellen (gegen [mm]x \in \IZ[/mm] konvergenten) Folge
> > kannst Du höchstens erstmal - wie hier - den Hinweis
> > bekommen, dass die Funktion an der betrachteten Stelle [mm]x\,[/mm]
> > stetig sein könnte. Das bringt nicht wirklich viel. Oder
> > aber Du könntest dann schon sehen, dass die Funktion eben
> > nicht stetig ist.
>
> Ah okay. Wenn also bei dieser speziellen Folge schon
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\not=f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_n)[/mm]
> wäre, dann könnte ich bereits schreiben, dass sie dort
> nicht stetig ist.
Genau!
> Für Stetigkeit reicht dieses noch nicht
> aus, dort muss es ebend für jede beliebige gegen z (hier
> x:=z) konvergierende folgen aus dem Definitionsbereich
> gelten.
> Undzwar linksseitig und rechtsseitig.
>
>
>
>
>
> > Beachte: [mm]x \mapsto [x][/mm] ist unstetig an allen Stellen [mm]z \in \IZ\,.[/mm]
> > Du musst hier also wirklich genau überlegen, was per
> > Definitionem von [mm]g\,[/mm] an den Stellen [mm]z \in \IZ[/mm] bei (echt)
> > linksseitiger Annäherung an [mm]z\,[/mm] und (echt) rechtsseitiger
> > Annäherung an [mm]z\,[/mm] passiert!
>
> Wenn ich von links komme, habe ich immer noch einen
> negativen Faktor in der Gaußklammer stehen, da ja jede
> Zahl abgerundet wird.
Was für einen negativen Faktor?
> > Dabei kannst Du auch immer o.E. schon annehmen, dass
> > [mm]|x_n-z| < 1[/mm] für alle [mm]n\,[/mm] gelte (warum?). Das hilft ein
> > wenig!
> > Gruß,
> > Marcel
>
> [mm]|x_n-z|[/mm] < 1[für alle n gilt, da die Reihe ja konvergiert.
Welche Reihe?
> Somit ist kleiner als Epsilon, für jedes Epsiolon>0.
> Also gibt es ein [mm]n_0\in\IN,[/mm] sodass ebend [mm]|x_n-z|[/mm] < 1
> gilt.
> Nur warum macht man dies ?
Also ich denke, Du denkst das schon richtig, sagst aber irgendwie in Worten nicht ganz klar (zum Teil auch falsch), was Du meinst:
Wenn $z=x [mm] \in \IZ$ [/mm] fest ist und man mit den [mm] $x_n$ [/mm] dann gegen [mm] $x=z\,$ [/mm] läuft. so wird [mm] $|x-x_n|$ [/mm] beliebig klein, irgendwann also insbesondere $< [mm] 1\,$ [/mm] sein.
Hier hilft das einfach wegen der Definition der Gaußklammer:
Denn: Wenn $z=x [mm] \in \IZ$ [/mm] und $r [mm] \in \IR$ [/mm] mit $|z-r| < 1$ gilt, dann weißt Du, dass $r$ im offenen Intervall $(z-1,z+1)$ ist. Damit kannst Du auf eindeutige Weise sagen, was $[r]$ ist: Falls $r [mm] \in (z-1,z)\,,$ [/mm] so ist [mm] $[r]=z-1\,,$ [/mm] und falls $r [mm] \in [z,z+1)\,,$ [/mm] dann ist [mm] $[r]=z\,.$ [/mm] Und damit können wir alleine durch Betrachtung dieser beiden Fälle sagen, welchen Funktionswert jedes [mm] $x_n$ [/mm] nur haben kann: Wir haben nur zwei Möglichkeiten!
> Mir würde jetz nur in den Sinn kommen, dass man ebend so
> sagen kann, dass [mm][x_n]\in\{-1,0\}[/mm] ist. Da die Folge ja
> gegen 0, konvergiert und sich einmal von links, und einmal
> von rechts den Grenzwert nährt.
Da versteh' ich nun gar nicht mehr, was Du meinst! Geht's Dir hier um $x-[x]$? (Das passt dann aber auch nicht...)
> Ich habe mir natürlich auch deinen Kurzbeweis angeschaut.
> Eins habe ich nur nicht verstanden nämlich h: [0,1] [mm]\to \IR[/mm]
>
> Den damit wird der Definitonsbereich doch eingeschränkt
> oder nicht ? Wieso darf man also das Kompakte Intervall von
> [0,1] betrachten ?
Naja: Was ist denn das Bild der Funktion $p: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $p(x):=x-[x]$: Also was ist [mm] $p(\IR)$? [/mm] Und dann denke nochmal drüber nach, wie das mit der Nacheinanderschaltung von Funktionen ist. Ich hätte auch $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $h(0)=0$ und $h(1)=1$ fordern können - aber auch dann bräuchte ich nicht die Stetigkeit von [mm] $h\,,$ [/mm] sondern die von der eingeschränkten Funktion [mm] $h_{|[0,1]}$ [/mm] würde reichen.
P.S.
Vielleicht machst Du erstmal folgendes:
Nimm' Dir meinen "Kurzbeweis" und schreibe ihn um für speziell [mm] $h(t)=\sqrt{t}\,.$ [/mm] Dann versuche mal, den Beweis dabei nachzuvollziehen. Vielleicht klärt sich dann einiges! (Denn [mm] $[x_n] \in \{-1,0\}$ [/mm] - wovon Du oben schreibst - macht keinen Sinn - ebensowenig strebt doch [mm] $(x_n)_n$ [/mm] nicht notwendig gegen [mm] $0\,,$ [/mm] sondern gegen irgendein $x=z [mm] \in \IZ\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
ACHTUNG:
Ich schreibe Dir hier kurz (m)eine Lösung der Aufgabe. Dabei werde ich ein wenig allgemeiner (nach unten scrollen, falls Interesse besteht!):
Behauptung:
Ist $h: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig mit $h(0)=0$ und [mm] $h(1)=1\,,$ [/mm] so ist die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=[x]+h(x-[x])$ stetig.
(Bei Dir ist speziell [mm] $h(x)=\sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,.$)
[/mm]
Beweis.
Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \IZ$ [/mm] ist klar. Sei also $x=z [mm] \in \IZ$ [/mm] beliebig, aber fest. Es ist klar, dass dann $f(x)=f(z)=[z]+h(z-[z])=[z]+h(0)=[z]+0=[z]=z$ gilt.
Linksstetigkeit in $x=z [mm] \in \IZ$:
[/mm]
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit $z=x > [mm] x_n \to x=z\,.$ [/mm] O.E. können wir alle [mm] $x_n \in [/mm] [z-1,z)$ annehmen. Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt dann
[mm] $$f(x_n)=[x_n]+h(x_n-[x_n])=(z-1)+h(\;x_n-(z-1)\;) \to z-1+h(z-(z-1))=z-1+h(1)=z-1+1=z=f(z)=f(x)\,.$$
[/mm]
Rechtsstetigkeit in $x=z [mm] \in \IZ$:
[/mm]
Sei [mm] $(y_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] mit $z=x < [mm] y_n \to x=z\,.$ [/mm] O.E. können wir alle [mm] $y_n \in [/mm] [z,z+1)$ annehmen. Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt dann
[mm] $$f(y_n)=[y_n]+h(y_n-[y_n])=z+h(y_n-z) \to z+h(z-z)=z+h(0)=z+0=z=f(z)=f(x)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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