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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Cauchy Folgen beschränkt sind. |
Hallo,
Als Hinweis haben wir: Man wähle in der Definition der Cauchy Folgen [mm] \varepsilon [/mm] =1, [mm] m=N_{0}(1) [/mm] und schaue genau hin...
Super, jetzt schaue ich mir die Definition der Cauchy Folge an:
Eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} \subset [/mm] U heißt Cauchy Folge, genau dann, wenn:
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon):\forall_{n,m}\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a_{m}||<\varepsilon
[/mm]
Was genau bedeutet denn dieses [mm] \varepsilon?
[/mm]
Wenn ich das jetzt „anwende“ bekomme ich daraus doch sowas wie:
[mm] \forall n,m\ge N_{0}(1): ||a_{n}-N_{0}(1)||<1...
[/mm]
weiß nicht, wie mir das jetzt die Behauptung beweisen soll?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Theoretix
> Zeigen Sie, dass Cauchy Folgen beschränkt sind.
> Hallo,
>
> Als Hinweis haben wir: Man wähle in der Definition der
> Cauchy Folgen [mm]\varepsilon[/mm] =1, [mm]m=N_{0}(1)[/mm] und schaue genau
> hin...
> Super, jetzt schaue ich mir die Definition der Cauchy
> Folge an:
> Eine Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN} \subset[/mm] U heißt Cauchy
> Folge, genau dann, wenn:
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon):\forall_{n,m}\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a_{m}||<\varepsilon[/mm]
>
> Was genau bedeutet denn dieses [mm]\varepsilon?[/mm]
> Wenn ich das jetzt „anwende“ bekomme ich daraus doch
> sowas wie:
> [mm]\forall n,m\ge N_{0}(1): ||a_{n}-N_{0}(1)||<1...[/mm]
Nee, da stimmt was nicht.Statt [mm] a_m [/mm] kannst du nicht [mm] N_{0}(1) [/mm] setzen. Aber da die Cauchy Eigenschaft (unter anderem) für alle [mm] m>N_{0}(1) [/mm] gilt, kannst du ein festes m nehmen, zum Beispiel [mm] m=N_{0}(1)+1 [/mm] (das hast du vielleicht auch gemeint und dich verschrieben), dann ist [mm] a_{N_{0}(1)+1} [/mm] ein fester Wert und
[mm] \forall n>N_{0}(1):
[/mm]
[mm] ||a_{n}-a_{N_{0}(1)+1}||<1
[/mm]
> weiß
> nicht, wie mir das jetzt die Behauptung beweisen soll?
>
> Gruß
Jetzt mal die umgekehrte Dreiecksungleichung verwenden. Falls du es dann noch nicht siehts,schreib nochmal auf, was Beschränktheit einer Folge überhaupt heisst (damit du weisst wo du hin sollst).
LG walde
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> > Wenn ich das jetzt „anwende“ bekomme ich daraus
> doch
> > sowas wie:
> > [mm]\forall n,m\ge N_{0}(1): ||a_{n}-N_{0}(1)||<1...[/mm]
>
> Nee, da stimmt was nicht.Statt [mm]a_m[/mm] kannst du nicht [mm]N_{0}(1)[/mm]
> setzen. Aber da die Cauchy Eigenschaft (unter anderem) für
> alle [mm]m>N_{0}(1)[/mm] gilt, kannst du ein festes m nehmen, zum
> Beispiel [mm]m=N_{0}(1)+1[/mm] (das hast du vielleicht auch gemeint
> und dich verschrieben), dann ist [mm]a_{N_{0}(1)+1}[/mm] ein fester
> Wert und
> [mm]\forall n>N_{0}(1):[/mm]
> [mm]||a_{n}-a_{N_{0}(1)+1}||<1[/mm]
>
Wieso darf ich denn nicht [mm] m=N_{0}(1) [/mm] setzen? in Worten heißt das doch nur: Das feste Folgenglied [mm] N_{0} [/mm] in abhängigkeit von dem „Epsilon Schlauch“ [mm] \varepsilon [/mm] ?
> Jetzt mal die umgekehrte Dreiecksungleichung verwenden.
> Falls du es dann noch nicht siehts,schreib nochmal auf, was
> Beschränktheit einer Folge überhaupt heisst (damit du
> weisst wo du hin sollst).
>
Ich möchte letztlich ja zeigen, dass:
[mm] \exists [/mm] C [mm] \in \IR [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M : [mm] ||x||\le [/mm] C
Wenn ich auf unser Bsp. jetzt die umgekehrte Dreiecksungleichung anwende:
[mm]||a_{n}-a_{N_{0}(1)+1}||[/mm] [mm] \le ||a_{n}||-||a_{N0}_{(1)+1}||<1
[/mm]
Jetzt steht da die Norm eines Folgengliedes n minus ein FESTES Folgenflied [mm] a_{N_{0}(1)+1} [/mm] ist immer kleiner als 1.
Ist damit der Beweis schon vollendet und gezeigt, dass eine Cauchy Folge beschränkt ist?
> LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:04 So 09.01.2011 | | Autor: | Walde |
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> > > Wenn ich das jetzt „anwende“ bekomme ich daraus
> > doch
> > > sowas wie:
> > > [mm]\forall n,m\ge N_{0}(1): ||a_{n}-N_{0}(1)||<1...[/mm]
> >
> > Nee, da stimmt was nicht.Statt [mm]a_m[/mm] kannst du nicht [mm]N_{0}(1)[/mm]
> > setzen. Aber da die Cauchy Eigenschaft (unter anderem) für
> > alle [mm]m>N_{0}(1)[/mm] gilt, kannst du ein festes m nehmen, zum
> > Beispiel [mm]m=N_{0}(1)+1[/mm] (das hast du vielleicht auch gemeint
> > und dich verschrieben), dann ist [mm]a_{N_{0}(1)+1}[/mm] ein fester
> > Wert und
> > [mm]\forall n>N_{0}(1):[/mm]
> > [mm]||a_{n}-a_{N_{0}(1)+1}||<1[/mm]
> >
> Wieso darf ich denn nicht [mm]m=N_{0}(1)[/mm] setzen? in Worten
> heißt das doch nur: Das feste Folgenglied [mm]N_{0}[/mm] in
> abhängigkeit von dem „Epsilon Schlauch“ [mm]\varepsilon[/mm] ?
Ich hatte überlesen, dass du [mm] \forall [/mm] n,m [mm] \green{\ge}N_{0}(1) [/mm] geschrieben hattest (ich hatte > im Kopf), dann geht natürlich auch [mm] m=N_{0}(1). [/mm] Allerdings war das nicht der Hauptgrund, warum ich sagte, "da stimmt was nicht". Du hattest im Eröffnungspost (wohl ein Tippfehler) nicht [mm] m=N_{0}(1), [/mm] sondern [mm] a_m=N_{0}(1) [/mm] gesetzt,das würde keinen Sinn machen.
>
>
> > Jetzt mal die umgekehrte Dreiecksungleichung verwenden.
> > Falls du es dann noch nicht siehts,schreib nochmal auf, was
> > Beschränktheit einer Folge überhaupt heisst (damit du
> > weisst wo du hin sollst).
> >
> Ich möchte letztlich ja zeigen, dass:
> [mm]\exists[/mm] C [mm]\in \IR[/mm] : [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M : [mm]||x||\le[/mm] C
>
> Wenn ich auf unser Bsp. jetzt die umgekehrte
> Dreiecksungleichung anwende:
> [mm]||a_{n}-a_{N_{0}(1)+1}||[/mm] [mm]\le ||a_{n}||-||a_{N0}_{(1)+1}||<1[/mm]
Vorsicht, die umgekehrte Dreiecksungleichung ist nicht [mm] $|a-b|\le|a|-|b|$, [/mm] sondern [mm] $|a|-|b|\le|a-b|$
[/mm]
Dann steht da [mm] ||a_n||-||a_{N_{0}(1)}||\le||a_n-a_{N_{0}(1)}||<1
[/mm]
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> Jetzt steht da die Norm eines Folgengliedes n minus ein
> FESTES Folgenflied [mm]a_{N_{0}(1)+1}[/mm] ist immer kleiner als 1.
> Ist damit der Beweis schon vollendet und gezeigt, dass
> eine Cauchy Folge beschränkt ist?
Ganz fertig biste noch nicht. Du hast:
für alle [mm] $n\ge N_{0}(1)$ [/mm] gilt [mm] ||a_n||<1+||a_{N_{0}(1)}||=:c_0,
[/mm]
nennen wir die rechte Seite mal [mm] c_0. [/mm] Das ist schon soweit so gut, brauchst aber insgesamt:
[mm] $||a_n||\le [/mm] c , [mm] c\in\IR^+$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN, [/mm]
d.h. du musst noch was über die ersten [mm] N_{0}(1)-1 [/mm] Folgenglieder sagen.Ist nicht mehr wild, sollte aber der Vollständigkeit halber hingeschrieben werden.
LG walde
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