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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | | Finden Sie eine Folge [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] derart, dass [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}< [/mm] 1 für alle [mm] k\in\IN [/mm] gilt, aber [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] divergiert. |
Hallo,
leistet die harmonische Reihe nicht schon das Gewünschte?
lG, Ferlei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Di 08.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Finden Sie eine Folge [mm](a_k)_{k\in\IN}[/mm] derart, dass
> [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_k}<[/mm] 1 für alle [mm]k\in\IN[/mm] gilt, aber
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] divergiert.
> Hallo,
>
> leistet die harmonische Reihe nicht schon das Gewünschte?
Kurz und knapp: Ja.
Gruß Abakus
>
> lG, Ferlei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Das würde ja heißen, dass ich das Quotientenkriterium bei der harmonischen Reihe garnicht erst verwenden darf.
Kann mir jemand sagen, woran das liegt?
Muss ich vorher etwas überprüfen, bevor ich das Q.k. anwende?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das würde ja heißen, dass ich das Quotientenkriterium bei
> der harmonischen Reihe garnicht erst verwenden darf.
>
> Kann mir jemand sagen, woran das liegt?
In manchen Fällen (so wie oben) liefert das Q.K. eben keine Entscheidung
> Muss ich vorher etwas überprüfen, bevor ich das Q.k.
> anwende?
Meist stellt man so etwas erst fest wenn man schon gerechnet hat
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Das verstehe ich nicht.
Wenn ich das Q.k. doch anwende und einen Wert <1 herausbekomme, schließe ich ja eigentlich die konvergenz heraus.
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] sei gegeben.
Dann ist doch [mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}=\bruch{k}{k+1}
[/mm]
Erkenne ich daran dann, dass ich zu keinem Ergebnis komme?
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Hallo Ferolei,
Du bekommst ja keinen Wert <1 heraus.
Du musst nämlich noch den Grenzwert für [mm] k\to\infty [/mm] bilden.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ne also jetzt bin ich total durcheinander.
Das was in der Aufgabenstellung steht, entspricht also nicht der Aussage des Q.k. ?
Da steht doch, dass für alle Folgenglieder der Quotient von dem Nachfolger und dem Folgenglied immer <1 sein soll.
Genau das ist doch der Fall.
Wenn ich das Quotientenkriterium anwende, zur Überprüfung von Konvergenz, betrachte ich doch das gleiche. Für den Quotienten >1 divergiert die Reihe...
ich habe das jetzt aber so verstanden, dass die harmonische Reihe den Wert <1 hat, wenn man sich den Quotienten der Glieder anschaut, sie als Reihe aber divergiert.
Genau das überprüft man doch eigentlich mit dem Q.k.?
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Hallo nochmal,
> Ne also jetzt bin ich total durcheinander.
>
> Das was in der Aufgabenstellung steht, entspricht also
> nicht der Aussage des Q.k. ?
Nein, tut es nicht.
> Da steht doch, dass für alle Folgenglieder der Quotient
> von dem Nachfolger und dem Folgenglied immer <1 sein soll.
>
> Genau das ist doch der Fall.
Ja, das siehst Du richtig.
> Wenn ich das Quotientenkriterium anwende, zur Überprüfung
> von Konvergenz, betrachte ich doch das gleiche. Für den
> Quotienten >1 divergiert die Reihe...
So ist es. Sogar für den Quotienten [mm] \red{\ge{1}}
[/mm]
edit: das ist falsch. Hat der Quotient den Grenzwert 1, ist mit dem Q.k. keine Aussage möglich. Siehe dazu meinen späteren Beitrag.
> ich habe das jetzt aber so verstanden, dass die harmonische
> Reihe den Wert <1 hat, wenn man sich den Quotienten der
> Glieder anschaut, sie als Reihe aber divergiert.
>
> Genau das überprüft man doch eigentlich mit dem Q.k.?
Lies mal diese Antwort von Fred.
In dieser Formulierung des Q.k. fällt man nicht so leicht in die Falle, in die du hier fällst.
Die Aufgabe hatte aber gar nicht die Erfüllung des Q.k. gefordert, sondern nur [mm] \bruch{a_n+1}{a_n}<1
[/mm]
Deine Lösung ist also richtig. Übrigens wirst Du keine Lösung finden, die das Quotientenkriterium erfüllt, aber trotzdem divergiert. Sonst wäre das Q.k. ja auch nicht viel nütze...
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Mir ist klar, warum meine Lösung richtig ist, aber ansonsten bin ich immernoch verwirrt. Irgendwie ist der Wurm drinnen.
Wo ist denn der Unterschied zu den Definitionen?
Also wir hatten in der Vorlesung das Q.k. auch mit dem ,es gibt ein q mit 0 < q [mm] \le [/mm] 1 definiert.
Aber das ist doch das gleiche, ob ich schaue, ob der Quotient unter 1 liegt?
Oder hat es was mit dem [mm] \infty [/mm] pber dem Betrag zu tun ???
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Hiho,
> Also wir hatten in der Vorlesung das Q.k. auch mit dem ,es
> gibt ein q mit 0 < q [mm]\le[/mm] 1 definiert.
Nein, eher $0 [mm] \le [/mm] q < 1$, das ist ein riesen Unterschied.
Denn:
Nehmen wir mal die obige Definition, es gibt also so ein q, so dass
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] q$ und $0 [mm] \le [/mm] q < 1$, dann gilt insbesondere:
[mm] $\lim_{k\to\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] q < 1$
D.h. egal wie "weit" mein k schon fortgeschritten ist, ich habe immer einen Mindestabstand von 1, den ich VORHER festlegen kann (nämlich den Abstand $1-q$).
Sollte nur gelten
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] < 1$, so kann es trotzdem sein, dass mein Quotient für jedes k immer kleiner als 1 ist, ich aber beliebig nah an die 1 rankomme mit steigendem k.
D.h ich bin zwar für jedes k echt kleiner als 1, komme aber mit wachsendem k immer näher an die 1 heran.
Das ist bei der Sache mit dem q nicht möglich.
Und wie du siehst ist so ein richtiger "Abstand" notwendig, damit das Quotientenkriterium funktioniert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Di 08.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich versteh das, mit dem "immer näher an 1 heran" ohne Q.k.
Bei der harmonischen Reihe sieht man aber auch, dass wenn man Quotienten bildet, diese immer näher an 1 kommen.
Ist das Zufall, dass das bei der harmonischen Folge so ist?
Für mich wirkt das schon so, dass in beiden Fällen die Werte immer näher an 1 kommen.
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Hallo nochmal,
ich habe vorhin an einer Stelle Unsinn geschrieben. War mit meinen Gedanken offenbar woanders - und übrigens noch an meiner Arbeitsstelle. Ich suche das gleich und redigiere es.
Wenn [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=1 [/mm] ist, dann liefert das Q.k. keine Aussage.
Nehmen wir an, dass das Trivialkriterium [mm] (a_n [/mm] ist Nullfolge) erfüllt ist.
Dann zeigen die beiden Reihen [mm] \summe\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] \summe\bruch{1}{n^2}, [/mm] warum für den Grenzquotienten 1 keine Aussage möglich ist. Die harmonische Reihe divergiert, die Reihe der reziproken Quadrate konvergiert gegen [mm] \bruch{\pi^2}{6}.
[/mm]
Wenn Du mal was Schwieriges probieren magst:
Ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\ln{(k+1)}} [/mm] konvergent?
(Nebenbei: wenn Du das echt probieren willst, stell Deinen Versuch lieber als ganz neue Anfrage ein. Das wird möglicherweise eine längere Diskussion...)
lg
reverend
PS: Nein, das ist nichts Besonderes bei der harmonischen Reihe. Das Quotientenkriterium kann nicht alles, sonst würdest Du ja auch nicht noch andere lernen müssen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ok.
Dann noch eine Abschlussfrage, zur Vergewisserung,ob ich das jetzt richtig verstanden habe.
Für ich für die harmonische Reihe das Q.k. anwenden, bekäme ich sowas:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}|=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k}{k+1}=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{k+1}{k+1}-\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k+1}= [/mm] 1-0 =1
Ich kriege mittels Q.k. also den Grenzwert (für den Quotienten) 1 heraus und kann daher keine Aussage mittels des Kriteriums erhalten.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Doch noch eine Frage :)
Da steht zwar nur, finden Sie eine,aber mich interessiert es schon, ob bzw. wie man das beweisen kann?
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Wie man was beweisen kann?
Bedenke nochmals [mm] \summe\bruch{1}{k} [/mm] und [mm] \summe{1}{k^2} [/mm] und komm dann mit einer präziseren Frage wieder, ja?
lg
rev
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:53 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Habe doch direkt darunter meine Idee zum Beweis geschrieben.
Und es bezieht sich natürlich immernoch auf die Ausgangsaufgabe.
Wollte halt wissen, wie man das zeigt, dass es für die harmonische gilt.
lG
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> Habe doch direkt darunter [mm] \green{(worunter?)} [/mm] meine Idee zum Beweis
> geschrieben.
> Und es [mm] \green{(was?)}bezieht [/mm] sich natürlich immernoch auf die
> Ausgangsaufgabe.
>
> Wollte halt wissen, wie man das [mm] \green{(was?)} [/mm] zeigt, dass es für die
> harmonische gilt.
>
> lG
Hallo,
kannst Du bitte nochmal deutlich formulieren, was hier die Frage ist, ggf. auch, indem Du im Interesse der Verständlichkeit Dinge aufschreibst, die Du schonmal geschrieben hast.
Möglicherweise mag nicht jeder im Advent in einem Riesenthread Ostereier suchen...
Was willst Du jetzt noch wissen?
Daß für die harmonische Reihe [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}<1 [/mm] für alle [mm] k\in \IN [/mm] gilt, ist ja nun schon abschließend geklärt.
Worum geht's also genau jetzt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Hallo,
es wurde 'erklärt', warum das mit der harmonischen Reihe klappt. Das habe ich ja schließlich selbst direkt gesehen.
Meine Frage war eben nur, ob ich das so zeigen kann, wie ich oben vorschlug.
Wo ich auch fragte, ob ich Induktion bräuchte.
Ich versteh das mit dem zitieren hier nicht so ganz. Wenn ich auf den letzten Beitrag antworte und dann auf zitieren drücke, steht da nur der letzte Beitrag, aber nicht meiner, den ich irgendwann hier mal geschrieben habe.
Ich wollte lediglich wissen, ob ich das
$ [mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}} [/mm] $ < 1
$ [mm] \gdw \bruch{k}{k+1} [/mm] $ < 1
$ [mm] \gdw [/mm] $ 1 - $ [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] $ < 1 (wahre Aussage)
so zeigen kann....
Denn einfach nur hinschreiben, dass die harmonische Reihe das erfüllt, genügt ja nicht.
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> es wurde 'erklärt', warum das mit der harmonischen Reihe
> klappt. Das habe ich ja schließlich selbst direkt
> gesehen.
>
> Meine Frage war eben nur, ob ich das so zeigen kann, wie
> ich oben vorschlug.
> Wo ich auch fragte, ob ich Induktion bräuchte.
>
> Ich versteh das mit dem zitieren hier nicht so ganz. Wenn
> ich auf den letzten Beitrag antworte und dann auf zitieren
> drücke, steht da nur der letzte Beitrag, aber nicht
> meiner, den ich irgendwann hier mal geschrieben habe.
>
> Ich wollte lediglich wissen, ob ich das
>
>
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}}[/mm] < 1
> [mm]\gdw \bruch{k}{k+1}[/mm] < 1
> [mm]\gdw[/mm] 1 - [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] < 1 (wahre Aussage)
>
> so zeigen kann....
Kannst Du
FRED
>
>
> Denn einfach nur hinschreiben, dass die harmonische Reihe
> das erfüllt, genügt ja nicht.
>
>
> lG
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> Kannst Du
>
> FRED
... wie auch gestern abend um 22.30 Uhr unser reverend bereits mitteilte.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Entschuldigt.
Meine Idee ist:
z.z. [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k} [/mm] <1 für die harmonische reihe
Beweis:
[mm] \bruch{\bruch{1}{k+1}}{\bruch{1}{k}} [/mm] < 1
[mm] \gdw \bruch{k}{k+1} [/mm] < 1
[mm] \gdw [/mm] 1 - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < 1 (wahre Aussage)
Reicht das so, oder muss ich hier Induktion anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mi 09.12.2009 | | Autor: | reverend |
Schon ok. Das geht ohne Induktion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Manchmal findet man auch die folgende Formulierung des Q.K.:
gibt es ein q mit 0 [mm] \le [/mm] q <1, so dass
(*) $| [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}| \le [/mm] q$
für fast alle k,
so ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] absolut konvergent
Ein häufig gemachter Fehler ist , zu meinen, dass (*) gleichbedeutend mit
$| [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] <1$
für fast alle k ist.
FRED
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