Folgen und Integrale < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:47 Do 22.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] (\Omega, \mathcal{A}, \mu) [/mm] ein Maßraum und [mm] (f_n)_{n\ge1} [/mm] eine Folge [mm] \mathcal{A}-messbarer [/mm] Funktionen [mm] f_n:\Omega\to\IR [/mm] mit
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\integral_{}^{}{|f_n|d\mu}<\infty.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] konvergiert absolut [mm] \mu- [/mm] f.ü., ist [mm] \mu-integrierbar, [/mm] und es gilt
[mm] \integral_{}^{}{\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}d\mu}=\summe_{n=1}^{\infty}\integral_{}^{}{f_{n}d\mu}.
[/mm]
(b) Betrachten Sie den Maßraum ((0,1), [mm] \mathcal{B}\cap(0,1), \lambda_{\mathcal{B}\cap(0,1)}) [/mm] und die Funktionenfolge
[mm] f_n(x)=x^{n-1}-2x^{2n-1} [/mm] mit [mm] (x\in(0,1), n\in \IN).
[/mm]
Berechnen und vergleichen Sie
[mm] \integral_{(0,1)}^{}{\summe_{n=1}^{\infty}{f_{n}d\lambda}}, \summe_{n=1}^{\infty}\integral_{(0,1)}^{}{f_{n}d\lambda}.
[/mm]
Warum ist Teil (a) nicht anwendbar? |
Da ich momentan wirklich Probleme habe, dem Fernstudium zu folgen und eine Studienbetreuung vor Ort bei mir ausscheidet, wäre es nett, wenn jemand mit mir gemeinsam eine Lösung erarbeiten könnte, d. h. mich Schritt für Schritt auf die richtige Spur bringt.
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Schau mal in den Bauer (steht in jeder gutsortierten Uni-Bib.) "Maß- und Integrationstheorie". In Auflage 2 findest du einen Ansatz als Satz 20.4 auf Seite 131. Musst aber die Seiten vorher auch lesen, sonst werden die Bezeichnungen nicht klar.
Ich würde es mit der Folge der Teilsummen versuchen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 23.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Vielen Dank! Den werde ich mir gleich mal aus der UB in Göttingen besorgen lassen. Leider habe ich aber die Befürchtung, dass ich allein daraus auch nicht schlau werden werde.
Als Fernstudent habe ich auch/nur ein Skript und praktisch keine Möglichkeit, mir das ganze Thema mal von jemandem erklären zu lassen, wenn ich Fragen habe. Und die hätte ich leider haufenweise...
Wäre also klasse, wenn das jemand mit mir gemeinsam durchrechnen könnte, z. B. in der Art, dass der erste Schritt gezeigt wird, und ich dann den Folgeschritt suchen muss, oder so ähnlich.
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> Vielen Dank! Den werde ich mir gleich mal aus der UB in
> Göttingen besorgen lassen. Leider habe ich aber die
> Befürchtung, dass ich allein daraus auch nicht schlau
> werden werde.
>
> Als Fernstudent habe ich auch/nur ein Skript und praktisch
> keine Möglichkeit, mir das ganze Thema mal von jemandem
> erklären zu lassen, wenn ich Fragen habe. Und die hätte ich
> leider haufenweise...
Weil Deine Frage inzwischen als "überfällig" markiert ist nur zwei Gedanken dazu: Erstens erstaunt mich, dass es bei diesem Fernstudium nicht so etwas wie eine "virtuelle Übungspräsenz" gibt. Bist Du sicher, dass Du nicht wenigstens schriftlich oder in einem Chat oder, noch besser, in einer kurzen synchronen Konferenz (mit Adioverbindung und Whiteboard) eine Möglichkeit hättest, über das Internet einem Assistenten solche Fragen zu stellen?
Zweitens: Könntest Du nicht weitere Stundenten derselben virtuellen Vorlesung ausfindig machen und mit denen eine, wenn nicht reale so doch wenigstens virtuelle Studiengruppe bilden? Zwar besteht in einem solchen Falle eine gewisse Gefahr des "the blind leading the blind", aber oft bringt ja schon der blosse Versuch, ein Problem prägnant in Worte zu fassen, einen Weg zur Lösung, wie Paul R. Halmos in seiner Biographie 'I want to be a Mathematician', Seite 116ff, mit Humor beschreibt: "I acquired a small, very small amount of experience as a consulting applied mathematician. My experience taught me two lessons. First, a large part of the consultant's job is to administer psychotherapy [d.h. ein Gespräch zu ermöglichen, das dem Fragesteller erlaubt, sich über die genaue Natur seines Problems erst einmal Klarheit zu verschaffen]; second, whatever you do, don't solve the problem you're asked about."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 25.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo!
Vielen Dank für die nochmalige Antwort.
Zu a) ja, es gibt in einigen Städten Übungsveranstaltungen, bei denen man direkt jemanden fragen kann, leider bei mir außerhalb zeitlicher Reichweite.
Zu b) Genau das habe ich bereits in Angriff genommen, weil es allein einfach nicht klappt.
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> (a) Sei [mm](\Omega, \mathcal{A}, \mu)[/mm] ein Maßraum und
> [mm](f_n)_{n\ge1}[/mm] eine Folge [mm]\mathcal{A}-messbarer[/mm] Funktionen
> [mm]f_n:\Omega\to\IR[/mm] mit
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\integral_{}^{}{|f_n|d\mu}<\infty.[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}f_n[/mm] konvergiert absolut [mm]\mu-[/mm] f.ü.,
> ist [mm]\mu-integrierbar,[/mm] und es gilt
>
> [mm]\integral_{}^{}{\summe_{n=1}^{\infty}f_{n}d\mu}=\summe_{n=1}^{\infty}\integral_{}^{}{f_{n}d\mu}.[/mm]
Hier kann man den Satz von der monotonen Konvergenz ("Beppo Levi") zunächst auf die monton wachsende Funktionenfolge [mm] $s_m [/mm] := [mm] \sum_{n=1}^m |f_n|$ [/mm] anwenden: ergibt, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty|f_n|$ [/mm] integrierbar ist und dass [mm] $\int\sum_{n=1}^\infty|f_n|\;d\mu [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \int |f_n|\;d\mu$ [/mm] gilt.
Aus der Integrierbarkeit von [mm] $\sum_{n=1}^\infty|f_n|$ [/mm] folgt sogleich, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty|f_n|<\infty$ [/mm] fast überall. - Woraus sich auch die absolute Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}^\infty f_n$ [/mm] (fast überall) ergibt.
[mm] $\int \sum_{n=1}^\infty f_n\; d\mu [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty \int f_n\; d\mu$ [/mm] ergibt sich schliesslich aus dem Satz der majorisierten Konvergenz, weil man die Partialsummen aufgrund der zuvor nachgewiesenen Eigenschaften der Partialsummen der Beträge [mm] $s_m$, [/mm] von oben und unten durch eine integrierbare Funktion beschränken kann.
>
> (b) Betrachten Sie den Maßraum ((0,1),
> [mm]\mathcal{B}\cap(0,1), \lambda_{\mathcal{B}\cap(0,1)})[/mm] und
> die Funktionenfolge
>
> [mm]f_n(x)=x^{n-1}-2x^{2n-1}[/mm] mit [mm](x\in(0,1), n\in \IN).[/mm]
>
> Berechnen und vergleichen Sie
>
> [mm]\integral_{(0,1)}^{}{\summe_{n=1}^{\infty}{f_{n}d\lambda}}, \summe_{n=1}^{\infty}\integral_{(0,1)}^{}{f_{n}d\lambda}.[/mm]
>
> Warum ist Teil (a) nicht anwendbar?
Vermutlich deshalb, weil die Voraussetzung [mm] $\sum_{n=1}^\infty\int |f_n|\; d\mu<\infty$ [/mm] von (a) nicht erfüllt ist (habs aber nicht nachgerechnet).
> Da ich momentan wirklich Probleme habe, dem Fernstudium zu
> folgen und eine Studienbetreuung vor Ort bei mir
> ausscheidet, wäre es nett, wenn jemand mit mir gemeinsam
> eine Lösung erarbeiten könnte, d. h. mich Schritt für
> Schritt auf die richtige Spur bringt.
Ich wünsche Dir natürlich, dass Du einen solchen Helfer wirst finden können - mir selbst wäre dieser Job etwas zu anstrengend.
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