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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Sa 11.11.2006 | | Autor: | wieZzZel |
| Aufgabe | Sei [mm] (x_{n}) [/mm] eine Folge reeler Zahlen. Für die folgenden Eigenschaften untersuche man jeweils, ob sie dazu äquivalent sind, dass die Folge gegen die reele Zahl x konvertiert:
("A" bedeutet "für alle"; "E" bedeutet "es existiert")
1. "A" [mm] k\in \IN [/mm] "E" [mm] n_{0} \in \IN [/mm] : [mm] |x_{n} [/mm] - x | < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] "A" [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
2. "A" [mm] q\in \IQ [/mm] "E" [mm] n_{0} \in \IN [/mm] : [mm] |x_{n} [/mm] - x | < [mm] q^{2} [/mm] "A" [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
3. "A" [mm] \varepsilon [/mm] >0 "E" [mm] n_{0} \in \IN [/mm] : [mm] |x_{n} [/mm] - x | [mm] \le \varepsilon [/mm] "A" [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
4. "E" [mm] n_{0} \in \IN [/mm] "A" [mm] \varepsilon [/mm] >0 : [mm] |x_{n} [/mm] - x | < [mm] \varepsilon [/mm] "A" [mm] n\ge n_{0}
[/mm]
5. "A" [mm] n_{0} \in \IN [/mm] "E" [mm] \varepsilon [/mm] >0 : [mm] |x_{n} [/mm] - x | < [mm] \varepsilon [/mm] "A" [mm] n\ge n_{0} [/mm] |
Hallo Ihr.
Weis nicht genau, was ich hier machen soll.
Vielleicht könntet ihr mal einen Tipp geben oder eine Aufgabe mal vorrechnen, denke dann wird es schon klick machen.
Meine Idee zu 1.
angenommen [mm] (x_{n}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und k=5
dann ist ja ab [mm] n_{0} [/mm] = 6 die Aussage erfüllt, da der Grenzwert der Folge 0 ist und somit
| [mm] \bruch{1}{6} [/mm] - 0 | = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] < [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Aber wie schreibe ich das formal richtig auf???
Vielen Dank für eure Hilfe.
Tschüßß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Sa 11.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo ZzZ
> Sei [mm](x_{n})[/mm] eine Folge reeler Zahlen. Für die folgenden
> Eigenschaften untersuche man jeweils, ob sie dazu
> äquivalent sind, dass die Folge gegen die reele Zahl x
> konvertiert:
>
> ("A" bedeutet "für alle"; "E" bedeutet "es existiert")
>
> 1. "A" [mm]k\in \IN[/mm] "E" [mm]n_{0} \in \IN[/mm] : [mm]|x_{n}[/mm] - x | <
> [mm]\bruch{1}{k}[/mm] "A" [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> 2. "A" [mm]q\in \IQ[/mm] "E" [mm]n_{0} \in \IN[/mm] : [mm]|x_{n}[/mm] - x | < [mm]q^{2}[/mm]
> "A" [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> 3. "A" [mm]\varepsilon[/mm] >0 "E" [mm]n_{0} \in \IN[/mm] : [mm]|x_{n}[/mm] - x | [mm]\le \varepsilon[/mm]
> "A" [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> 4. "E" [mm]n_{0} \in \IN[/mm] "A" [mm]\varepsilon[/mm] >0 : [mm]|x_{n}[/mm] - x | <
> [mm]\varepsilon[/mm] "A" [mm]n\ge n_{0}[/mm]
>
> 5. "A" [mm]n_{0} \in \IN[/mm] "E" [mm]\varepsilon[/mm] >0 : [mm]|x_{n}[/mm] - x | <
> [mm]\varepsilon[/mm] "A" [mm]n\ge n_{0}[/mm]
> Hallo Ihr.
>
> Weis nicht genau, was ich hier machen soll.
>
> Vielleicht könntet ihr mal einen Tipp geben oder eine
> Aufgabe mal vorrechnen, denke dann wird es schon klick
> machen.
>
> Meine Idee zu 1.
>
> angenommen [mm](x_{n})[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] und k=5
> dann ist ja ab [mm]n_{0}[/mm] = 6 die Aussage erfüllt, da der
> Grenzwert der Folge 0 ist und somit
>
> | [mm]\bruch{1}{6}[/mm] - 0 | = [mm]\bruch{1}{6}[/mm] < [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Aber wie schreibe ich das formal richtig auf???
1. hast du 2 rationale Zahlen benutzt und nich allgemein reelle, aber das nur nebenbei. x,xn sind reell, d.h. sie können rational sein, müssen aber nicht!
Ein Beispiel ist Nie ein Beweis, mit einem Beispiel kann man nur zeigen, dass eine Behauptung falsch ist, nie dass sie wahr ist.
Beh: Kein Studi kann diese Aufgabe lösen.
Beweis: Es existiert ein Studi, ZzZ, der sie nicht lösen kann, also ist die Beh. richtig. Von der Art ist dein Beweis.
Du musst die Definition der Konvergenz, die ihr benutzt genau untersuchen, und zeigen wenn z.Bsp 1. gilt, dann auch eure Bedingung und wenn eure Bed. gilt, dann auch 1. Das heisst dann die Sätze sind äquivalent (in der Umgangssprach:es ist egal welchen Satz ich anwende, wenn s mit dem eine konv. ist, dann auch mit dem anderen)
Nun ist die mir geläufige Def. von Konvergenz der Punkt 3. der würde also per Def. richtig sein
Also zeig ich dir mit dieser Def. 1.
wenn es zu jedem k ein n0 gibt sodass |xn-x|<1/k für alle n>n0 dann gilt auch es gibt zu jedem reellen [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein n0 denn das Archimedes Axiom sagt, zu jeder reellen Zahl r>0 gibt es ein [mm] k\in \IN [/mm] mit 1/k<r
das müsstest du noch genauer hinschreiben also auf [mm] |xn-x|<1/k<\varepsilon [/mm] anwenden!
Die Umkehrung geht entsprechend.
Hinweis: 4. und 5. sind nicht äquivalent! aber eine Richtung kann klappen!
Gruss leduart
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Hallo leduart.
Vielen Dank für deine Hilfe, aber ich habe nochmal eine Frage:
> Also zeig ich dir mit dieser Def. 1.
> wenn es zu jedem k ein n0 gibt sodass |xn-x|<1/k für alle
> n>n0 dann gilt auch es gibt zu jedem reellen [mm]\varepsilon>0[/mm]
> ein n0 denn das Archimedes Axiom sagt, zu jeder reellen
> Zahl r>0 gibt es ein [mm]k\in \IN[/mm] mit 1/k<r
> das müsstest du noch genauer hinschreiben also auf
> [mm]|xn-x|<1/k<\varepsilon[/mm] anwenden!
> Die Umkehrung geht entsprechend.
heißt das, das
|xn-x|<1/k< [mm] \varepsilon [/mm] schon die Lösung ist???
Oder muss ich noch mehr hinschreiben???
Was meinst du mit Umkehrung???
bei 2.
|xn-x|< [mm] q^{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ????
Danke schonmal im voraus.
Kann die Antwort erst morgen früh lesen, komme da erst wieder an einen PC.
Danke und noch ein schönes Wochenende.
Tschüß Röby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 14.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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