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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 10.09.2008 | | Autor: | chris18 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie, falls vorhanden, die obere und untere Schranke. Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie und Beschränktheit.
[mm] an=\bruch{n^2+2}{n} [/mm] |
hallo kann mit einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß nicht wie ich hier herangehen soll. Danke
Hier habe ich schon mal die Folge hingeschrieben.
<3,3,3.66,4.5,5.4>
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Hallo Chris,
> Bestimmen Sie, falls vorhanden, die obere und untere
> Schranke. Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie und
> Beschränktheit.
>
> [mm]an=\bruch{n^2+2}{n}[/mm]
> hallo kann mit einer bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß
> nicht wie ich hier herangehen soll. Danke
>
> Hier habe ich schon mal die Folge hingeschrieben.
> <3,3,3.66,4.5,5.4>
Ok, das vermittelt doch schon mal den Eindruck, dass die Folge monoton steigend ist, bzw. ab dem zweiten Glied sogar streng monoton steigend ist.
Wie kann man diese Vermutung erhärten?
Na, indem man es zeigt.
Wie zeigt man monotones Wachstum bei einer Folge?
Entweder du zeigst [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ oder gleichwertig [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Ich würde den zweiten Weg empfehlen 
Gut soweit, wenn du das gezeigt hast, ist auch klar, welches die untere Schranke sein muss.
Das kannst du (wenn erlaubt) dann mit der Monotonie begründen oder zeigst es per vollst. Induktion:
Sagen wir, du vermutest $s$ als untere Schranke, dann musst du zeigen, dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $a_n\ge [/mm] s$
Was die Beschränktheit nach oben angeht, so kannst du dir einen Eindruck verschaffen, wenn du mal [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ [/mm] betrachtest.
Klammere mal $n$ im Zähler aus, kürze es gegen das $n$ im Nenner und schaue dann, was für [mm] $n\to\infty$ [/mm] passiert ...
Reicht das für einen Anfang?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 10.09.2008 | | Autor: | chris18 |
Danke für die schnelle Antwort.
Das mit der Monottonie habe ich verstanden, aber das mit der oberen und unteren Schranke und der Beschränktheit nicht so ganz.
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Hallo nochmal,
ist dir denn klar, was es mathematisch bedeutet, dass zB. $u$ untere Schranke der Folge [mm] $a_n$ [/mm] ist?
Und was es bedeutet, dass zB. $o$ obere Schranke der Folge ist?
Was bedeutet das für die Folgenglieder?
Kläre das mal für dich, dann kannst du auch das Folgende beantworten
Wenn du nun gezeigt hast, dass die Folge (deren Glieder ja alle durch die Bank positiv sind) monoton steigend ist, welches ist dann die untere Schranke?
Und hast du mal [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n$ [/mm] angeschaut?
Mit dem Tipp mit dem Ausklammern oben?
Was kann man dann vermuten über eine obere Schranke?
Versuche mal, Antworten zu finden...
LG
schachuzipus
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