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Hallo, ich habe jetzt eine ganze weile vor der aufgabe gesessen aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Die Aufgabe lautet:
Ein Grenzwert.
1 = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{n²} )^n
[/mm]
Unsere gruppe sitzt da seit ewig erfolglos dran, die aufgabe erinnert ein wenig an lim (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] = lim (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n+1 [/mm] = e
Daher haben wir versucht die Aufgabe irgendwie umzubauen, so dass sie einfacher ist und haben gerechnet:
1 = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{1}{n²} )^n [/mm]
= [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{(0+n) * (0-n)} [/mm] ) << 3. Binom. Formel
= [mm] \lim_{n \to \infty} 1^n [/mm] + [mm] \lim_{n \to \infty} (\bruch{1}{0+n})^n [/mm] * [mm] (\bruch{1}{0-n})^n
[/mm]
Wenn uns nun irgendwas deutlicher geworden wär gut, wenn es ne möglichkeit gebe dass nu zu trennen wäre es einfacher, aber das hilft uns irgendwie auch nicht dahingehend weiter die Gleichung zu beweisen.
Bitte helft mir und meiner Gruppe.
Die Aufgabe wurd nur hier gestellt, bin auf der suche nach hilfen hierrüber gestolpert.
Würde mich sehr über einen Lösungsansatz oder einen Tipp freuen.
Grüße,
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Edit: Hab die hoch n eingebaut, die Marc angenörgelt hat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SystemLordAnubis + Lerngruppe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich habe jetzt eine ganze weile vor der aufgabe
> gesessen aber irgendwie komme ich nicht weiter.
> Die Aufgabe lautet:
>
> Ein Grenzwert.
>
> 1 = [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] ( 1 - [mm]\bruch{1}{n²} )^n
[/mm]
>
> Unsere gruppe sitzt da seit ewig erfolglos dran, die
> aufgabe erinnert ein wenig an lim (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] = lim
> (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n+1[/mm] = e
> Daher haben wir versucht die Aufgabe irgendwie umzubauen,
> so dass sie einfacher ist und haben gerechnet:
>
> 1 = [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] ( 1 - [mm]\bruch{1}{n²} )^n[/mm]
> = [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{(0+n) * (0-n)}[/mm] ) <<
> 3. Binom. Formel
> = [mm]\lim_{n \to \infty} 1^n[/mm] + [mm]\lim_{n \to \infty} (\bruch{1}{0+n})[/mm]
> * [mm](\bruch{1}{0-n})
[/mm]
Die 3. binomische Formel ist schon nicht schlecht, allerdings bringt sie nicht viel, wenn einer der Summanden 0 ist 
Übrigens könnte man durch deine Umformungen (die falsch sind, weil irgendwo doch noch "hoch n" fehlt) auf die Idee kommen, du verträtest die Meinung, dass [mm] $(a+b)^n=a^n+b^n$ [/mm] (anders kann ich mir nicht erklären, dass du [mm] 1^n [/mm] schreibst...) Das solltest du vielleicht noch mal überdenken (z.B. mit dem Beispiel a=b=1 und n=2).
Kennt Ihr denn schon diese Beziehung:
[mm] $e^z=\summe_{n=0}^{\infty} \left( 1+\bruch{z}{n}\right)^n$?
[/mm]
Falls ja, ist die Aufgabe einfach:
1. 3. Binomische Formel anwenden
2. Grenzwertsätze anwenden
3. Obige Formel (zwei Mal) anwenden
Viele Grüße,
Marc
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die von dir benannte Beziehung haben wir noch nicht durchgekaut, außerdem habe ich die fehlenden hoch n hinzugefügt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo zusammen,
> die von dir benannte Beziehung haben wir noch nicht
> durchgekaut, außerdem habe ich die fehlenden hoch n
> hinzugefügt.
Aber nicht überall und den "schweren" Schnitzer $(a+b)^n=a^n+b^n$ hast du auch nicht behoben.
Wie sieht es mit einem erneuten Versuch aus, die 3. binomische Formel anzuwenden?
$\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)=\left(1²-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right)=\left(1-\bruch{1}{n}\right)*\left(1+\bruch{1}{n}\right)$
Nun habt Ihr ja schon richtig erkannt, dass Ihr die Beziehung $e=\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$ ausnutzen könnt.
Freundlicherweise ist der Grenzwert der gesamten Folge ja bereits angegeben, d.h., wenn Ihr nun noch zeigen könntet, dass
$\limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n=\bruch{1}{e}$
gilt, wäret Ihr fertig. Seht Ihr das ein?
Da ich Euch ja nicht den ganzen Spaß an der Aufgaben nehmen will, hier noch ein Tipp/Trick:
$\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1}\right)$
$=\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n}\right)$
Das ist ein ganz einfacher Trick, denn die beiden Folgen sind ja identisch, was man wegen der Indexverschiebung aber vielleicht nicht sofort sieht.
Bei weiteren Problemen meldet Euch wieder
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Marc, danke erstmal für deine Zeit,
dein Argumentation, bin ich nachgekommen und habe sie soweit denke ich auch nachvollzogen.
[mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] = [mm] \left(1-\bruch{1}{n^2}\right)=\left(1²-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right)=\left(1-\bruch{1}{n}\right)\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
und da wir die beziehung
[mm] e=\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm]
ausnutzen dürfen haben wir am ende dann da stehn:
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n \cdot [/mm] e = 1
nun wird durch e dividiert und bringen e so auf die seite wo die 1 ist, auf diese weise kommen wir dann zu
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n=\bruch{1}{e}
[/mm]
und das wir dann fertig wären, bis dahin sind wir uns auch schonmal einig.
wir knobeln grad nur noch etwas daran rum wie man mit deinem Trick/Tipp an die sache herangehen kann.
wir haben aber bereits herausgefunden, dass die gleichung oben, die dort beschriebene Folge
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n=\bruch{1}{e}
[/mm]
eine (streng) monoton steigende Folge ist. und das wir diese folge umformen können
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
= [mm] \limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n-1}{n}\right)^n
[/mm]
aber weiter sind wir leider noch nicht. sind wir soweit auf der richtigen spur? wennja was müßten wir noch tun um auf den richtigen weg weiterzugehn. und wenn nein, was haben wir falsch gemacht, wo liegen unsere fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] =
Limes reingerutscht?
> [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)=\left(1²-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right)=\left(1-\bruch{1}{n}\right)\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)[/mm]
> eine (streng) monoton steigende Folge ist. und das wir
Okay, streng monoton steigend ist sie, spielt aber keine Rolle.
> diese folge umformen können
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
> = [mm]\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n-1}{n}\right)^n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wir haben doch das Ziel [mm] $\bruch{1}{\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}=\bruch{1}{e}$ [/mm] vor Augen, also mit "Gewalt" umformen:
[mm]\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n-1}{n}\right)^n[/mm]
= [mm] $\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{\bruch{n}{n-1}}\right)^n$
[/mm]
= [mm] $\limes_{n\to\infty}\bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}$
[/mm]
= [mm] $\bruch{1}{\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}$
[/mm]
Jetzt den "Trick" auf den Nenner anwenden...
Viel Erfolg,
Marc
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Also ich bin soweit fertig, nur weiß ich noch nicht wie ich jetzt rückschluss darauf ziehen kann das die gleichung wahr ist.
ausgehend von deinem:
[mm] \bruch{1}{\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}=\bruch{1}{e}
[/mm]
hier hab ich dann den Trick angewandt und den Term [mm] \lim_{n \to \infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1} [/mm] durch den Term [mm] \lim_{n \to \infty}(\bruch{n+1}{n})^n [/mm] ersetzt. da wir jedoch unter dem bruchstrich im nenner befinden steht da als Potenz n+1 (später wenn der Term zurück in den Zähler umgeformt wird wird die Potenz - 1 gerechnet und man kommt wieder auf dass [mm] (\bruch{n+1}{n})^n [/mm]
gut.
habs dann erstmal aufgeschrieben
[mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^{n-1}}
[/mm]
hab dann wie angekündigt den Therm von unten in den Zähler umgeformt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] ( [mm] \bruch{n+1}{n})^n
[/mm]
das wiederrum ist gleich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n
[/mm]
an dieser stelle kann ich dann wieder die tatsache zu nutze machen, dass:
(1 + [mm] \bruch{n+1}{n})^n [/mm] = e
und hab am schluss jetzt stehn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] e = [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
stehn.
das einzige was mir nun noch unklar ist. ob ich jetzt fertig bin wenn ja, mit welchem satz kann ich den beweis vollenden, wenn nein was fehlt noch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SystemLordAnubis,
> und hab am schluss jetzt stehn
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] e = [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> stehn.
> das einzige was mir nun noch unklar ist. ob ich jetzt
> fertig bin wenn ja, mit welchem satz kann ich den beweis
> vollenden, wenn nein was fehlt noch?
Wie kannst du bei deiner letzten Gleichung überhaupt den Mut haben, von "fertig" zu sprechen?
Ist denn [mm] $e=\bruch{1}{e}$? [/mm] Ist e=1 oder e=-1?
Ich fürchte, da hast du etwas gründlich missverstanden.
Wir wollen also zeigen, dass [mm] $\limes_{n\to\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n=\bruch{1}{e}$ [/mm] gilt.
Das könnte man so machen:
[mm] $\limes_{n\to\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(\bruch{n-1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}$
[/mm]
Indexverschiebung: Ersetze "n" durch "n+1"
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{n}\right)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\underbrace{\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}_{=e}*\underbrace{\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)}_{=1}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{e*1}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{e}$
[/mm]
Da ich Grenzwertsätze angewendet habe, sollte man diese Gleichungskette in umgekehrter Reihenfolge lesen (bei den Grenzwertsätzen muß man ja voraussetzen, dass die einzelnen Grenzwerte existieren, und das wird nur durch rückwärtiges Lesen deutlich).
So, ich denke, dass Ihr jetzt alles zu einem Beweis zusammensetzen könnt.
Zu Eurer Übung würde ich empfehlen, diesen auch hier noch mal im MatheRaum vorzustellen (als "Frageartikel"  ).
Viele Grüße,
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Sa 06.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin anubis und freunde!
mal ein anderer ansatz
klar ist, das [mm] (1-1/n)^{n} [/mm] <= 1 ist
somit brauchst du eine abschätzung nach unten, die auch gegen 1 konvergiert. somit greift dann das einschließungkriterium.
schau dir dazu mal die bernoulli ungleichung an
[mm] (1+x)^{n} [/mm] >= 1+nx tip [mm] x=-1/n^{2}
[/mm]
das dürfte jetzt kein problem mehr sein die aufgabe zu lösen
gruß zwerg
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Haben den beweis zusammengesetzt, bitte um eine letzte Korrektur.
Aufgabenstellung:
Ein Grenzwert.
1 = [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm] ( 1 [mm] -\bruch{1}{n²} )^n [/mm]
Anwendung der 3. binomischen Formel: (a+b)(a-b) = a² - b²
[mm] \left(1-\bruch{1}{n^2}\right)=\left(1²-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right)=\left(1-\bruch{1}{n}\right)\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
Bemerkung: Es gilt [mm] e=\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
Daher,
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n \cdot [/mm] e = 1
Nach de umformund steht dann da:
[mm] \limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n=\bruch{1}{e}
[/mm]
Von hier aus wird weitergerechnet und mit Gewalt umgeformt:
So sieht die Sache aus: [mm] \limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n-1}{n}\right)^n
[/mm]
= [mm] \limes_{n\to\infty}\left(\bruch{1}{\bruch{n}{n-1}}\right)^n
[/mm]
= [mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{\limes_{n\to\infty}\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}
[/mm]
An dieser stelle verschieben wir den Index von "n" nach "n+1". Gleichzeitig machen wir uns den Trick zu nutze, dass gilt:
[mm] =\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n}{n-1}\right)^n}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}}
[/mm]
aus [mm] \bruch{1}{\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}=\bruch{1}{e} [/mm] wird
[mm] =\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\to\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\underbrace{\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}_{=e}\cdot{}\underbrace{\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)}_{=1}}
[/mm]
An dieser stelle nutzen wir erneut die beziehung aus die für e gilt: [mm] e=\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
Daher,
[mm] =\bruch{1}{e\cdot{}1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
Damit wäre der Grenzwert bewiesen.
Bitte um eine letzte Korrektur trotz der späten stunde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 07.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SystemLordAnubis,
> Haben den beweis zusammengesetzt, bitte um eine letzte
> Korrektur.
Obwohl ja nur noch Beweisteile zusammenzusetzen waren, gefallen mir einige Stellen nicht.
> Aufgabenstellung:
>
> Ein Grenzwert.
>
> 1 = [mm]\lim_{n \to \infty}[/mm] ( 1 [mm]-\bruch{1}{n²} )^n[/mm]
>
>
> Anwendung der 3. binomischen Formel: (a+b)(a-b) = a² - b²
>
>
> [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)=\left(1²-\left(\bruch{1}{n}\right)^2\right)=\left(1-\bruch{1}{n}\right)\cdot{}\left(1+\bruch{1}{n}\right)
[/mm]
>
> Bemerkung: Es gilt [mm]e=\limes_{n\to\infty} \left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
>
> Daher,
>
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n \cdot[/mm] e =
> 1
Das ist zwar richtig, folgt aber etwas zu schnell für meine Begriffe so dass ich Sorge habe, dass Dir gar nicht klar war, wie viele Schritte du auf einmal gemacht hast.
Ausserdem finde ich es nicht schön, dass du den Beweis als Gleichung angehst.
Ich würde eine Gleichungskette aufbauen, die mit [mm] $\lim_{n \to \infty} \left( 1 -\bruch{1}{n²} \right)^n=\ldots$ [/mm] startet und mit [mm] $\ldots=1$ [/mm] endet (bzw. noch besser wäre anders herum, siehe eine vorherige Bemerkung meinerseits).
Ich würde also schreiben:
[mm] $\limes_{n \to \infty}\left( 1-\bruch{1}{n²} \right)^n$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Grenzwertsatz [mm] $\limes a_n*\limes b_n=\limes a_n*b_n$ [/mm] anwenden (falls am Ende alle Grenzwerte existieren)
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n*e$
[/mm]
Nun würde ich meinen vorherigen Beweis von [mm] $\ldots=1/e$ [/mm] als Nebenrechnung hier einfügen oder dem gesamten Beweis voranstellen, so dass hier nur noch zu folgern bleibt:
[mm] $=\bruch{1}{e}*e$
[/mm]
$=1$
Viele Grüße,
Marc
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Habs soweit verstanden und übernommen.
@marc danke dir. falls ich dir mal in der RUB begegne lad ich dich auf nen kaffee oder so ein ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 07.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SystemLordAnubis,
> Habs soweit verstanden und übernommen.
> @marc danke dir. falls ich dir mal in der RUB begegne lad
> ich dich auf nen kaffee oder so ein ^^
Wenn du nun eigentlich an einer anderen Uni studierst, fände ich diese Einladung ziemlich gelungen
Viele Grüße,
Marc
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