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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Di 13.03.2007 | | Autor: | anitram |
| Aufgabe | Konstruiere eine Folge von Funktionen [mm] x_{n} [/mm] aus [mm] C[-\pi,\pi], [/mm] die zwar punktweise, nicht jedoch im quadratischen mittel gegen 0 strebt.
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guten tag!
mein problem bei dieser aufgabe ist, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll.
folgen aus dem ärmel zu schütteln ist nicht gerade meine stärke...
wie geht man denn da am besten vor?
vielen dank für eure tipps!
lg anitram
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Hallo,
> Konstruiere eine Folge von Funktionen [mm]x_{n}[/mm] aus
> [mm]C[-\pi,\pi],[/mm] die zwar punktweise, nicht jedoch im
> quadratischen mittel gegen 0 strebt.
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mit 'im quadratischen mittel' meinst du bezüglich der [mm] $L^2$-Norm, [/mm] oder?
überlege mal: wenn du eine funktionenfolge hast, deren träger immer kleiner wird, konvergiert diese pktw. gegen 0. wenn aber die funktionswerte über dem träger immer größer werden, bleibt das integral (bei geschickter konstruktion) gleich einem konstanten wert ungleich 0.
ein einfaches beispiel, was nicht ganz auf deine aufgabe passt, weil die funktionen nicht stetig sind, ist folgendes:
definiere
[mm] $x_n(t)=\sqrt{n}$ [/mm] für [mm] $t\in[0,\frac{1}{n})$.
[/mm]
[mm] $x_n(t)=0$ [/mm] für [mm] $t\in(\frac{1}{n},1]$
[/mm]
Diese Folge hat eine [mm] $L^2$-norm [/mm] konstant 1, obwohl sie punktweise gegen 0 konvergiert. Klar?
Wenn du statt der stufenfunktionen einfache stetig funktionen wählst (zB. 'dreieck-funktionen') hast du deine funktionen folge.
Viele Grüße
Matthias
>
> guten tag!
>
> mein problem bei dieser aufgabe ist, dass ich nicht weiß,
> wie ich anfangen soll.
> folgen aus dem ärmel zu schütteln ist nicht gerade meine
> stärke...
> wie geht man denn da am besten vor?
>
> vielen dank für eure tipps!
>
> lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mi 14.03.2007 | | Autor: | anitram |
hallo matthias!
danke für deine antwort!
aber wie du darauf kommst, dass die [mm] L^2 [/mm] norm gleich 1 ist, das versteh ich noch nicht so ganz...
ich glaub ich stehe auf der leitung!
kannst du mir bitte erklären wie du darauf kommst?
sonst ist (hoffe ich) alles klar!
danke!
lg anitram
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Hallo,
OK:
[mm] $\|x_n\|_{L^2}^2=\int_{[0,1]}(x_n(t))^2\, dt=\int_{[0,\frac{1}{n}]} [/mm] n [mm] \,dt=n\cdot \frac{1}{n}=1$
[/mm]
Also ist auch [mm] $\|x_n\|_{L^2}=1$ [/mm] konstant.
gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Do 19.04.2007 | | Autor: | wauwau |
an der stelle 0 konvergiert die aber nicht punktweise gegen 0!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 19.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
ich habe noch eine frage zu meiner frage!
bzw. eine idee...
könnte man denn nicht so eine folge finden, die irgendwas mit fourierreihen zu tun hat?
die aufgabe wurde zwar nicht direkt im zusammenhang mit fourierreihen gestellt, aber die kamen in diesem kapitel auch vor.
ich bedanke mich schon mal im voraus für eure meinungen!!
lg anitram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 19.04.2007 | | Autor: | wauwau |
würde sagen die Funktionenfolge
[mm] sin(\bruch{x}{n}) [/mm] konvergiert punktweise gegen 0
aber
[mm]\integral_{-\pi}^{+\pi}{sin^{2}(\bruch{x}{n}) dx} =n* \integral_{-\bruch{\pi}{n}}^{+\bruch{\pi}{n}}{sin^{2}(y) dy} = \bruch{\pi}{2} - n*cos(\bruch{\pi}{n})sin(\bruch{\pi}{n}) [/mm]
konvergiert da nach de l'Hopital [mm] n*sin(\bruch{\pi}{n}) [/mm] gegen [mm] -\pi [/mm] konvergiert gegen [mm] \bruch{3\pi}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo werner!
Danke für deine Antwort!
Hab mir alles angeschaut, und nachgerechnet, komme aber auf andere Ergbnisse als du...
> [mm]\integral_{-\pi}^{+\pi}{sin^{2}(\bruch{x}{n}) dx} =n* \integral_{-\bruch{\pi}{n}}^{+\bruch{\pi}{n}}{sin^{2}(y) dy} = \bruch{\pi}{2} - n*cos(\bruch{\pi}{n})sin(\bruch{\pi}{n})[/mm]
das ergebnis das ich für das integral herausbekomme lautet so:
[mm] \integral_{-\pi}^{+\pi}{sin^{2}(\bruch{x}{n}) dx} [/mm] = [mm] \pi-n*sin(\pi/n)cos(\pi/n)
[/mm]
>da nach de l'Hopital [mm]n*sin(\bruch{\pi}{n})[/mm]
> gegen [mm]-\pi[/mm] konvergiert
und auch [mm] n*sin(\bruch{\pi}{n}) [/mm] geht bei mir [mm] gegen+\pi [/mm] nicht gegen [mm] -\pi.
[/mm]
und dann konvergiert die funktion auch im quadratischen mittel gegen 0!
hab ich etwas falsch verstanden, bzw gerechnet??
ich hoffe du kannst mir noch einmal weiterhelfen!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Di 24.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Du hast recht - da habe ich mich im Übereifer verrechnet....
was hältst du von folgender funktionenfolge:
[mm] f_{n}(x)=\begin{cases} 0 & -\pi \le x \le 0 \\ n^2x & 0 < x \le \bruch{1}{n} \\ 2n-n^2x & \bruch{1}{n} < x \le \bruch{2}{n} \\ 0 & \bruch{2}{n} \le x \le \pi \end{cases}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo wauwau!
das wäre dann eine dreiecksfunktion, oder?
diesen tipp hat mir matthias ja auch schon gegeben. er meinte ichs solls mit der dreiecksfunktion probieren...
nur komm ich hier nicht auf die punktweise konvergenz... das ist mein problem!
vielen dank!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Di 24.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Für [mm] x\le [/mm] 0 ist der Funktionswert immer Null
für fixiertes x>0 kannst du immer ein N so wählen, dass für alle n > N x > [mm] \bruch{2}{n} [/mm] und daher ebenfalls 0
D.h. die funktionenfolge ist punktweise konvergent...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
hallo!
ok, das hab ich jetzt kapiert, danke!!
jetzt hab ich nur noch eine frage bzgl der konvergenz im quadratischen Mittel dieser folge!
stimmt das: [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f_{n(x)}dx} [/mm] = 2n/3 ???
würde das stimmen, dann geht diese funktion bzgl. dem quadratischen mittel nicht gegen 0.
danke für deine geduld mit mir!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Di 24.04.2007 | | Autor: | wauwau |
du hast zwar beim Hinschreiben, das Quadrat der Funktion vergessen, aber das Ergebnis mit [mm] \bruch{2n}{3} [/mm] ist richtig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
stimmt, das hab ich vergessen!
vielen, vielen dank!
lg anitram
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
jetzt habe ich mir das ganze noch einmal durchgedacht, und versteh es leider doch nicht...
> Für [mm]x\le[/mm] 0 ist der Funktionswert immer Null
>
> für fixiertes x>0 kannst du immer ein N so wählen, dass für
> alle n > N x > [mm]\bruch{2}{n}[/mm] und daher ebenfalls 0
>
> D.h. die funktionenfolge ist punktweise konvergent...
ich sehe ein, dass wenn x> 2/n ist, dass dann [mm] f_{n}(x)=0. [/mm] also auch laut definition der pkt.weisen konvergenz [mm] f_{n}(x)<\epsilon. [/mm] das ist alles klar.
aber die definition lautet doch, dass für alle x und für alle [mm] \epsilon [/mm] es so ein N gibt.
du sagst aber, du wählst dir ein x fix.(aber es muss doch für alle x gelten, oder?)
ich stehe hier jetzt total auf der leitung, und verstehs einfach nicht!
vielen dank!!!
lg anitram
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Di 24.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ich glaube du verwechselst punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Bei punktweiser fixiert man sozusagen jeden Punkt, wie du sagst. Bei gleichmäßiger Konvergenz muss das n für alle x das gleiche sein.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
aja, das wirds gewesen sein!
danke für deine antwort!
lg anitram
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