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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 So 07.11.2004 | | Autor: | cletus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich verzweifle an folgender Aufgabe:
[mm]c_n=\frac{n^5+n^3}{5^n}[/mm]
Dass diese Funktion gegen 0 konvergiert weiß ich bereits, aber an dem Beweis hapert es.
Man könnte diesen Bruch evtl auch trennen:
[mm] c_n = \frac{n^5}{5^n} + \frac{n^3}{5^n} [/mm]
Aber selbst da fehlt mir eine Idee, wie man dies beweisen könnte.
Hat jemand von euch eine Idee?
Grüße & schönen Sonntag abend noch
Philipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 So 07.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo!
Falls die Regel von de l'Hôpital angewandt werden darf, so hilft wiederholtes Differenzieren des Zählers und des Nenners:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{5}}{5^{n}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{5n^{4}}{5^{n}*ln(5)}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{20n^{3}}{5^{n}*ln(5)^{2}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{40n^{2}}{5^{n}*ln(5)^{3}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{80n^{1}}{5^{n}*ln(5)^{4}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{80}{5^{n}*ln(5)^{5}}
[/mm]
= 0
Liebe Grüße Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 So 07.11.2004 | | Autor: | cletus |
Darf natürlich nicht  , danke aber für deine Antwort!
Hast du sonst noch eine Idee?
Grüße
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 So 07.11.2004 | | Autor: | Sunni |
Eine richtig schöne Idee habe ich zwar nicht, aber vielleicht versuchst du es einfach mal damit, alles durch [mm]n^5[/mm] zu teilen.
[mm] \Rightarrow [/mm] (1+ 1/n²)
[mm]5^n[/mm]/[mm]n^5[/mm]
Dann musst du nur noch zeigen, dass [mm]5^n[/mm]/[mm]n^5[/mm] keine Nullfolge ist. Also dass für [mm] n\ge5 [/mm] gilt: [mm]5^n[/mm][mm] \ge[/mm] [mm]n^5[/mm].
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