Formalität < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:23 So 14.08.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich stolpere immer wieder um eine formale Geschichte und weiß nicht was sie zu bedeuten hat. Es geht mir hier um die Schreibweise und was ihre inhaltliche Bedeutung ist: [mm] d\phi |_{M} [/mm] . Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen bei dem Strich und der untergestellten Menge.
Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 So 14.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich stolpere immer wieder um eine formale Geschichte und
> weiß nicht was sie zu bedeuten hat. Es geht mir hier um
> die Schreibweise und was ihre inhaltliche Bedeutung ist:
> [mm]d\phi |_{M}[/mm] . Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen bei dem
> Strich und der untergestellten Menge.
>
> Vielen Dank schonmal und Viele Grüße
> Kerstin
Seien X und Y nichtleere Mengen und [mm] $\phi:X \to [/mm] Y $ eine Abbildung. Ist nun M eine nichtleere Teilmenge von X, so bez. man mit [mm] \phi |_{M} [/mm] die Einschränkung von [mm] \phi [/mm] auf M, also die Abbildung
[mm] $\phi |_{M}:M \to [/mm] Y$, [mm] \phi |_{M}(m):=\phi(m) [/mm] ($m [mm] \in [/mm] M$)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 Fr 02.09.2011 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank Fred (sorry für die späte Antwort, mich hats gesundheitstechnisch zwischendurch zerrissen)
und das "d" bedeutet dann nur die Ableitung von phi eingeschränkt auf die Menge M?
Viele Grüße
Kerstin
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Hallo Kerstin,
> Vielen Dank Fred (sorry für die späte Antwort, mich hats
> gesundheitstechnisch zwischendurch zerrissen)
>
> und das "d" bedeutet dann nur die Ableitung von phi
> eingeschränkt auf die Menge M?
Das ist schwer zu sagen, ich halte das für ungewöhnlich, weil man eigentlich die Variable, nach der abgeleitet wird, dabei mit angibt, wenn also [mm]\Phi[/mm] eine Funktion in der Variable [mm]m[/mm] ist (wie Fred das aufgeschrieben hat), so würde man eher sagen:
[mm]\frac{d}{dm}\Phi_{|M}[/mm]
Aber das ist mehr oder weniger Spekulation.
Verrate uns doch etwas mehr über den Zusammenhang, in dem diese Schreibweise auftaucht und schreibe mal den Satz oder das Lemma oder oder auf, in dem du es gelesen hast ...
>
> Viele Grüße
> Kerstin
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Kueken |
Hi, danke für deine Antwort.
Ok, hier nun der Zusammenhang :) Es geht grundsätzlich um Mannigfaltigkeiten.
"Differentiable manifolds are the abstract generalization of the notion of submanifolds which are in turn generalizations of curves and surfaces. A submanifold of dimension n is a subset M [mm] \subset \IR^{n+k} [/mm] which has three equivalent descriptions in the neighbourhood U [mm] \subset [/mm] M of each point:
Implicit: The inverse image U := [mm] \phi^{-1} [/mm] (b) [mm] \subset \IR^{n+k} [/mm] : of a regular value b of a function [mm] \phi \in C^{\infty} (\IR^{n+k},\IR^{k}), [/mm] that is [mm] d\phi|_{M} [/mm] has rank k."
Also das ist der Text. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann heißt das ganze: die Verallgemeinerung von submannigfaltigkeiten sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine Submannigfaltigkeit hat eine bestimmte Dimension und ist eine Teilmenge vom [mm] \IR^{n+k} [/mm] für die gilt, dass jeder Punkt in seiner Umebung drei gleiche Beschreibungen besitzt.
Ab "implicit" weiß ich nicht genau worum es überhaupt geht. Dachte wenn ich die Notation, die ich schon öfter so gesehen habe, verstanden habe, wird mir der Satz auch klarer. Aber bisher gabs keine Erfolgserlebnisse ^^.
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Di 06.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Ok, hier nun der Zusammenhang :) Es geht grundsätzlich um
> Mannigfaltigkeiten.
> "Differentiable manifolds are the abstract generalization
> of the notion of submanifolds which are in turn
> generalizations of curves and surfaces. A submanifold of
> dimension n is a subset [mm]M\subset \IR^{n+k}[/mm] which has three
> equivalent descriptions in the neighbourhood[mm] U \subset M[/mm] of
> each point:
>
> Implicit: The inverse image [mm]U := \phi^{-1} (b) \subset \IR^{n+k}[/mm]
> : of a regular value b of a function [mm]\phi \in C^{\infty} (\IR^{n+k},\IR^{k}),[/mm]
> that is [mm]d\phi|_{M}[/mm] has rank k."
>
> Also das ist der Text. Wenn ich das richtig verstanden
> habe, dann heißt das ganze: die Verallgemeinerung von
> submannigfaltigkeiten sind differenzierbare
> Mannigfaltigkeiten. Eine Submannigfaltigkeit hat eine
> bestimmte Dimension und ist eine Teilmenge vom [mm]\IR^{n+k}[/mm]
> für die gilt, dass jeder Punkt in seiner Umebung drei
> gleiche Beschreibungen besitzt.
Nicht ganz: Nicht "jeder Punkt hat drei äquivalente Beschreibungen"; sondern "Die Mannigfaltigkeit M hat in einer Umgebung [mm] $U\subset [/mm] M$ eines jeden Punktes drei äquivalente Beschreibungen".
> Ab "implicit" weiß ich nicht genau worum es überhaupt
> geht. Dachte wenn ich die Notation, die ich schon öfter so
> gesehen habe, verstanden habe, wird mir der Satz auch
> klarer. Aber bisher gabs keine Erfolgserlebnisse ^^.
Es gibt ja im allgemeinen keine globale differenzierbare Abbildung von ganz M auf eine Teilmenge des [mm] $\IR^k$, [/mm] sondern nur lokale differenzierbare Abbildungen von Umgebungen U eines Punktes in den [mm] $\IR^k$. [/mm] (Beispiel: es gibt keine differenzierbare Abbildung der gesamten Kugeloberfläche in den [mm] $\IR^2$.) [/mm] Deswegen ist immer nur von der Abbildung von U die Rede (Stichwort: Karte). [mm] $d\phi$ [/mm] ist die totale Ableitung der Abbildung [mm] $\phi$; [/mm] dies ist per Definition für jeden Punkt p eine lineare Abbildung vom [mm] $\IR^{n+k}$ [/mm] in den [mm] $\IR^{k}$, [/mm] deren Rang man angeben kann. Ein Punkt p ist regulär, wenn dieser Rang maximal ist, also gerade gleich k. Dann gibt es einen regulären Wert [mm] $b=\phi(p)$.
[/mm]
Implizit heisst diese Darstellung, weil die Punkte [mm] $p\in [/mm] M$ nur implizit über die Bedingung [mm] $\phi^{-1}(b)$ [/mm] für einen regulären Wert b angegeben sind.
Die Kugeloberfläche liefert auch sofort ein Beispiel für die Abbildung [mm] $\phi$: [/mm] sie ordne jedem Punkt der Kugeloberfläche im [mm] $\IR^3$ [/mm] (außer Nord- und Südpol) eindeutig einen Punkt aus dem [mm] $\IR^2$, [/mm] nämlich gerade das Paar (geografische Breite, geografische Länge). Die Matrixdarstellung von [mm] $d\phi$ [/mm] ist nichts anderes als die Jacobimatrix, also eine 3x2-Matrix; der maximale Rang einer solchen Matrix ist 2.
Im Fall der Kugeloberfläche sind [mm] $\phi(p)$ [/mm] die üblichen Polarkoordinaten des Punktes p (mit konstantem Radius); sie sind außer für Nord- und Südpol eindeutig definiert; außer für Nord- und Südpol hat die Jacobimatrix den Rang 2.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:17 Di 06.09.2011 | | Autor: | Kueken |
Wow, danke für die tolle ausführliche Antwort.
Das ist meine erste Begegnung mit Mannigfaltigkeiten (man muss ja irgendwie die Semesterferien rumkriegen ^^), deshalb kann ich mit einigen Sachen noch nicht viel anfangen. Da werd ich jetzt erstmal Wikipedia interviewen. Aber ich hab das grobe ganze der Aussage jetzt denke ich verstanden :D
Wenn ich nach meinem wikiinterview noch Fragen habe, meld ich mich nochmal.
Vielen Dank für die tolle Unterstützung !!!
Viele Grüße
Kerstin
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