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Forum "Uni-Analysis" - Formel bestimmen
Formel bestimmen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Formel bestimmen: Vorgang
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Do 10.11.2005
Autor: Reaper

Hallo.....

Man bestimme:  [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 3*(2k-1)²

Ich hab jetzt mal für ein paar Werte eingesetzt komm aber irgendwie auf keinen grünen Zweig:

k =  1 -> 3
k = 2 -> 30
k = 3 -> 105
k = 4 -> 252
k = 5 -> 495
....usw.

Ich hab durch umherprobieren schon mal rausgefunden dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] = n² ist.
Also
k = 1 -> 1
k = 2 -> 4
k = 3 -> 9
k = 4 -> 16
....usw.

Kann mir wer einen Tipp geben wie ich auf eine allgemeine Formel komme?

mfg,
Hannes



        
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Formel bestimmen: leichter als es aussieht
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:46 Do 10.11.2005
Autor: Xanthippe0815

Versuchs doch mal wie folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 3(2k-1)^2[/mm]
= [mm] 3*\summe_{k=1}^{n} (4k^2-4k+1)[/mm]
= [mm]3*(4 \summe_{k=1}^{n} k^2 - 4\summe_{k=1}^{n} k +\summe_{k=1}^{n}1)[/mm])

[mm] \summe_{k=1}^{n}1=?[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k=?[/mm] (der große Gauss)
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=?[/mm]

müsste bekannt sein, kann also eingesetzt werden und alles natürlich noch zusammenfassen!


Bezug
                
Bezug
Formel bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Fr 11.11.2005
Autor: Reaper

Hallo...danke....

[mm] \summe_{k=1}^{n}1 [/mm] = n
[mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] = n*(n+1)/2
[mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] =  [mm] \bruch{1}{3}*n³ [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2}*n² [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6}*n [/mm]

Wenn man das Ganze jetzt einsetzt kommt gekürzt n*(4n²-1) raus....hmm
ich glaube aber dass das zu einfach ist.

Das  Bsp. ist einfach so angegeben:

Man bestimme  [mm] \summe_{k=1}^{n}3*(2k-1)² [/mm]

Kann man die Formel auch per Induktion finden?
Denn ich kann ja nicht einfach vorraussetzen dass man
[mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] =  [mm] \bruch{1}{3}*n³ [/mm] +  [mm] \bruch{1}{2}*n² [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6}*n [/mm]
einfach so weiß.........dass muss ich ja irgendwie ausrechnen können ohne lange umherzuprobieren.....hat wer eine Idee?

mfg,
Hannes


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Bezug
Formel bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Fr 11.11.2005
Autor: Stefan

Hallo Hannes!

Du bist ja jetzt (mit dir unbekannten Formeln, das spielt aber keine Rolle ;-)) zu der Vermutung gekommen, dass

[mm] $\sum\limits_{k=1}^n 3(2k-1)^2 [/mm] = [mm] n(4n^2-1)$ [/mm]

gilt.

Dies kannst du ja jetzt mal mit Induktion versuchen zu beweisen.

Der Induktionsanfang ist klar.

Zum Induktionsschritt:

[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1} 3(2k-1)^2 [/mm] = n [mm] \cdot (4n^2-1) [/mm] + 3 [mm] \cdot (2(n+1)-1)^2 [/mm] = [mm] 4n^3+12n^2+11n-3 [/mm] = (n+1) [mm] \cdot (4n^2+8n+3) [/mm] = (n+1) [mm] \cdot (4(n+1)^2-1)$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
Formel bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Sa 12.11.2005
Autor: Reaper

Hallo...du hast dich zwar ein paar mal verrechnet beim Induktionsschluss aber am Schluss kommt dann eh das Richtige raus.
Jetzt möchte ich noch fragen ob es da eine Methode gibt wenn man n+1 aus einem Term heraushebt. Oder hast du einfach angenommen dass das so stimmen muss wenn ich n+1 herausnehme da dies ja in der Behauptung festgelegt wird.( (n+1)*(4*(n+1)²-1))

mfg,
Hannes

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Formel bestimmen: Blick zum Ziel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Sa 12.11.2005
Autor: Loddar

Hallo Hannes!


Man sollte halt nie den Blick zum Ziel verlieren ;-) ...

Im Ernst!

Wenn man weiß, welcher Ausdruck entstehen soll, lohnt es auf jeden Fall, mit dem entsprechenden Term z.B. eine MBPolynomdivision durchzuführen ... in unserem Falle halt durch $(n+1)_$ .


Gruß
Loddar


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Formel bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 Sa 12.11.2005
Autor: Stefan

Hallo Hannes!

> Hallo...du hast dich zwar ein paar mal verrechnet beim
> Induktionsschluss

Das kann ich so nicht stehenlassen, weil es nicht stimmt. Ich hatte einmal ein [mm] $4n^2$ [/mm] statt eines [mm] $4n^3$ [/mm] geschrieben (ein offensichtlicher  Tippfehler), der Rest ist völlig korrekt.

Liebe Grüße
Stefan


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