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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 10.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo.....
Man bestimme: [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 3*(2k-1)²
Ich hab jetzt mal für ein paar Werte eingesetzt komm aber irgendwie auf keinen grünen Zweig:
k = 1 -> 3
k = 2 -> 30
k = 3 -> 105
k = 4 -> 252
k = 5 -> 495
....usw.
Ich hab durch umherprobieren schon mal rausgefunden dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] = n² ist.
Also
k = 1 -> 1
k = 2 -> 4
k = 3 -> 9
k = 4 -> 16
....usw.
Kann mir wer einen Tipp geben wie ich auf eine allgemeine Formel komme?
mfg,
Hannes
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Versuchs doch mal wie folgt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} 3(2k-1)^2[/mm]
= [mm] 3*\summe_{k=1}^{n} (4k^2-4k+1)[/mm]
= [mm]3*(4 \summe_{k=1}^{n} k^2 - 4\summe_{k=1}^{n} k +\summe_{k=1}^{n}1)[/mm])
[mm] \summe_{k=1}^{n}1=?[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k=?[/mm] (der große Gauss)
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=?[/mm]
müsste bekannt sein, kann also eingesetzt werden und alles natürlich noch zusammenfassen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...danke....
[mm] \summe_{k=1}^{n}1 [/mm] = n
[mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] = n*(n+1)/2
[mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*n³ [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*n² [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6}*n
[/mm]
Wenn man das Ganze jetzt einsetzt kommt gekürzt n*(4n²-1) raus....hmm
ich glaube aber dass das zu einfach ist.
Das Bsp. ist einfach so angegeben:
Man bestimme [mm] \summe_{k=1}^{n}3*(2k-1)²
[/mm]
Kann man die Formel auch per Induktion finden?
Denn ich kann ja nicht einfach vorraussetzen dass man
[mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*n³ [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*n² [/mm] +
[mm] \bruch{1}{6}*n
[/mm]
einfach so weiß.........dass muss ich ja irgendwie ausrechnen können ohne lange umherzuprobieren.....hat wer eine Idee?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
Du bist ja jetzt (mit dir unbekannten Formeln, das spielt aber keine Rolle  ) zu der Vermutung gekommen, dass
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n 3(2k-1)^2 [/mm] = [mm] n(4n^2-1)$
[/mm]
gilt.
Dies kannst du ja jetzt mal mit Induktion versuchen zu beweisen.
Der Induktionsanfang ist klar.
Zum Induktionsschritt:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1} 3(2k-1)^2 [/mm] = n [mm] \cdot (4n^2-1) [/mm] + 3 [mm] \cdot (2(n+1)-1)^2 [/mm] = [mm] 4n^3+12n^2+11n-3 [/mm] = (n+1) [mm] \cdot (4n^2+8n+3) [/mm] = (n+1) [mm] \cdot (4(n+1)^2-1)$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...du hast dich zwar ein paar mal verrechnet beim Induktionsschluss aber am Schluss kommt dann eh das Richtige raus.
Jetzt möchte ich noch fragen ob es da eine Methode gibt wenn man n+1 aus einem Term heraushebt. Oder hast du einfach angenommen dass das so stimmen muss wenn ich n+1 herausnehme da dies ja in der Behauptung festgelegt wird.( (n+1)*(4*(n+1)²-1))
mfg,
Hannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Hannes!
> Hallo...du hast dich zwar ein paar mal verrechnet beim
> Induktionsschluss
Das kann ich so nicht stehenlassen, weil es nicht stimmt. Ich hatte einmal ein [mm] $4n^2$ [/mm] statt eines [mm] $4n^3$ [/mm] geschrieben (ein offensichtlicher Tippfehler), der Rest ist völlig korrekt.
Liebe Grüße
Stefan
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Polynomdivision