Formel für N gilt auch für a€Q < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man begründe, dass die in der Vorlesung zunächst nur für natürliche Zahlen [mm] $a\not= [/mm] 1$ bewiesene geometrische Summenformel
[mm] $\sum_{k=0}^{n}a^{k} [/mm] = [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a}$
[/mm]
auch für allgemeine rationale Zahlen [mm] $a\in\IQ, a\not= [/mm] 1$ gilt. |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe weiß ich nicht wirklich, was ich machen soll...
Was sollte denn dagegen sprechen? Wir wissen, dass die Operationen "+" und "*" in [mm] \IQ [/mm] abgeschlossen sind.
Was genau muss ich zeigen?
Bitte um einen Denkanstoß,
vielen Dank für Eure Mühe und Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man begründe, dass die in der Vorlesung zunächst nur für
> natürliche Zahlen [mm]a\not= 1[/mm] bewiesene geometrische
> Summenformel
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> [mm]\sum_{k=0}^{n}a^{k} = \frac{1-a^{n+1}}{1-a}[/mm]
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> auch für allgemeine rationale Zahlen [mm]a\in\IQ, a\not= 1[/mm]
> gilt.
> Hallo!
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> Bei der obigen Aufgabe weiß ich nicht wirklich, was ich
> machen soll...
> Was sollte denn dagegen sprechen? Wir wissen, dass die
> Operationen "+" und "*" in [mm]\IQ[/mm] abgeschlossen sind.
>
> Was genau muss ich zeigen?
Kupfere den Beweis aus der Vorlesung einfach nach, wobei Du Dich überzeugen soltest, dass alle Schritte auch in [mm] \IQ [/mm] machbar sind
FRED
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> Bitte um einen Denkanstoß,
>
> vielen Dank für Eure Mühe und Grüße,
>
> Stefan
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Hallo fred,
danke für deine Antwort!
Also so:
Induktionsanfang (n = 1):
Sei $a [mm] \in \IQ$. [/mm] Dann ist
[mm] $\sum_{k=0}^{1}a^{k} [/mm] = [mm] a^{0} [/mm] + [mm] a^{1} [/mm] = 1+a = [mm] \frac{(1-a)}{(1-a)}*(1+a) [/mm] = [mm] \frac{(1-a)*(1+a)}{(1-a)} [/mm] = [mm] \frac{1-a^{2}}$.
[/mm]
Induktionsschluss:
Sei [mm] $a\in \IQ$. [/mm] Dann ist
[mm] $\sum_{k=0}^{n+1}a^{k} [/mm] = [mm] \left(\sum_{k=0}^{\n}a^{k}\right) [/mm] + [mm] a^{n+1} \overset{IV}{=} \frac{1-a^{n+1}}{1-a} [/mm] + [mm] a^{n+1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1-a^{n+1}}{1-a} [/mm] + [mm] \frac{(1-a)}{(1-a)}*a^{n+1} =\frac{1-a^{n+1}}{1-a} [/mm] + [mm] \frac{a^{n+1}-a^{n+2}}{1-a} [/mm] = [mm] \frac{1-a^{n+1} + a^{n+1} - a^{n+2}}{1-a} [/mm] = [mm] \frac{1- a^{n+2}}{1-a}$.
[/mm]
Aber an welchen Stellen sollte ich jetzt besonders betonen, dass die Aussagen auch für [mm] a\in\IQ [/mm] gelten?
Wenn ich [mm] $\frac{(1-a)}{(1-a)} [/mm] = 1$ erzeuge?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast nur Rechenregeln benutzt, die in jedem Körper gelten. Dein Beweis ist so O.K.
FRED
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Okay,
danke Fred für deine Antwort!
Grüße,
Stefan
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