Formel für Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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HI!
Ich habe eine Frage bzgl. folgender Aufgabe:
Seien [mm] A_1, A_2, A_3, A_4 [/mm] Ereignisse in einem Wahrscheilichkeitsraum. Es seien [mm] P(A_i) [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4}, [mm] P(A_i \cap A_j) [/mm] für {i,j} c {1,2,3,4} und
[mm] P(A_i \cap A_j \cap A_k) [/mm] für {i,j,k} c {1,2,3,4} bekannt. Geben Sie eine Formel zur Bestimmung von
[mm] P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) [/mm] aus den bekannten Größen an und beweisen Sie diese.
Mein Ansatz:
[mm] P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4) [/mm] = [mm] P(A_5 \cup A_6)
[/mm]
= [mm] P(A_5) [/mm] + P [mm] (A_6) [/mm] - [mm] P(A_5 \cap A_6)
[/mm]
=
[mm] P(A_1 \cup A_2) [/mm] + [mm] P(A_3 \cup A_4) [/mm] - [mm] P((A_1 \cup A_2) \cap (A_3 \cup A_4)
[/mm]
=
[mm] P(A_1) [/mm] + [mm] P(A_2) [/mm] + [mm] P(A_3) [/mm] + [mm] P(A_4) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_2) [/mm] - [mm] P(A_1 \cap A_3) [/mm]
[mm] -P(A_1 \cap A_4)-P(A_2\cap A_3) [/mm] - [mm] P(A_2 \cap A_4) [/mm] + P [mm] (A_1 \cap A_2 \cap A_3)
[/mm]
Ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mi 18.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo lernen2011,
> Seien [mm]A_1, A_2, A_3, A_4[/mm] Ereignisse in einem
> Wahrscheilichkeitsraum. Es seien [mm]P(A_i)[/mm] für i [mm]\in[/mm]
> {1,2,3,4}, [mm]P(A_i \cap A_j)[/mm] für {i,j} c {1,2,3,4} und
> [mm]P(A_i \cap A_j \cap A_k)[/mm] für {i,j,k} c {1,2,3,4} bekannt.
> Geben Sie eine Formel zur Bestimmung von
> [mm]P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)[/mm] aus den bekannten
> Größen an und beweisen Sie diese.
Sicherlich sollte es in der Aufgabenstellung heißen, dass auch [mm] $P(A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4)$ [/mm] bekannt sei.
> [mm]P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)[/mm] = [mm]P(A_5 \cup A_6)[/mm]
>
> = [mm]P(A_5)[/mm] + P [mm](A_6)[/mm] - [mm]P(A_5 \cap A_6)[/mm]
Mit [mm] A_5 [/mm] und [mm] A_6 [/mm] meinst du die Ereignisse [mm] $A_1\cup A_2$ [/mm] und [mm] $A_3\cup A_4$? [/mm] (Unbedingt dazuschreiben!)
> = [mm]P(A_1 \cup A_2)[/mm] + [mm]P(A_3 \cup A_4)[/mm] - [mm]P((A_1 \cup A_2) \cap (A_3 \cup A_4)[/mm]
Bis hierhin korrekt.
> = [mm]P(A_1)[/mm] + [mm]P(A_2)[/mm] + [mm]P(A_3)[/mm] + [mm]P(A_4)[/mm] - [mm]P(A_1 \cap A_2)[/mm] - [mm]P(A_1 \cap A_3)[/mm] [mm]-P(A_1 \cap A_4)-P(A_2\cap A_3)[/mm] - [mm]P(A_2 \cap A_4)[/mm] + P [mm](A_1 \cap A_2 \cap A_3)[/mm]
Warum sollte dieser Schritt gelten?
Dein Ansatz ist gut.
Ich würde wie folgt vorgehen:
Löse zunächst die analoge Aufgabe mit 3 statt 4 Ereignissen. Starte danach mit
[mm] $P(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)=P((A_1\cup A_2\cup A_3)\cup A_4)=\ldots$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 18.04.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
google mal "Siebformel".
vg Luis
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