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| Aufgabe 1 | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine [mm] \IR-analytische [/mm] Funktion. D.h. zu jedem [mm] x_{0} \in \IR [/mm] existiert ein r > 0 und eine in jedem x [mm] \in (x_{0}-r, x_{0}+r) [/mm] (reele) konvergente Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*(x-x_{0})^{n} [/mm] für die [mm] f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*(x-x_{0})^{n} [/mm] für alle x [mm] \in (x_{0}-r, x_{0}+r) [/mm] gilt.
(1) Zeigen Sie: Es existiert eine offene Menge U [mm] \subset \IC [/mm] mit [mm] \IR \subset [/mm] U und F: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit [mm] F|_{\IR}=f. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | (2) Bestimmen Sie ein F, falls f durch [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] gegeben ist. Bestimmen Sie weiterhin für jedes [mm] x_{0} \in \IR [/mm] den Konvergenzradius der Potenzreihe von F im Punkte [mm] x_{0}. [/mm] |
Hallo zusammen,
bei dieser Aufgabe bin ich etwas überfordert oder stehe ziemlich auf dem Schlauch. Nach einem Korollar aus der Vorlesung weiß ich, dass [mm] a_{n}=\bruch{f(n)}{n!}(x_{0}) [/mm] ist. Hilft mir das weiter?
Wie ist mein Ansatz bei der 1)? F soll ja die holomorphe Fortsetzung von f sein oder?
Zu 2) Wie komme ich auf mein F? Mit F ist hier nicht die Stammfunktion gemeint oder?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine [mm]\IR-analytische[/mm] Funktion. D.h.
> zu jedem [mm]x_{0} \in \IR[/mm] existiert ein r > 0 und eine in
> jedem x [mm]\in (x_{0}-r, x_{0}+r)[/mm] (reele) konvergente
> Potenzreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*(x-x_{0})^{n}[/mm] für
> die [mm]f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}*(x-x_{0})^{n}[/mm] für alle
> x [mm]\in (x_{0}-r, x_{0}+r)[/mm] gilt.
> (1) Zeigen Sie: Es existiert eine offene Menge U [mm]\subset \IC[/mm]
> mit [mm]\IR \subset[/mm] U und F: U [mm]\to \IC[/mm] holomorph mit
> [mm]F|_{\IR}=f.[/mm]
> (2) Bestimmen Sie ein F, falls f durch
> [mm]f(x)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] gegeben ist. Bestimmen Sie
> weiterhin für jedes [mm]x_{0} \in \IR[/mm] den Konvergenzradius der
> Potenzreihe von F im Punkte [mm]x_{0}.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> bei dieser Aufgabe bin ich etwas überfordert oder stehe
> ziemlich auf dem Schlauch. Nach einem Korollar aus der
> Vorlesung weiß ich, dass [mm]a_{n}=\bruch{f(n)}{n!}(x_{0})[/mm]
> ist. Hilft mir das weiter?
>
> Wie ist mein Ansatz bei der 1)? F soll ja die holomorphe
> Fortsetzung von f sein oder?
Ja.
Mit den Bez. muß man etwas ausholen. Zu [mm] x_0 \in \IR [/mm] gibt es ein [mm] r(x_0) [/mm] >0 und eine Folge [mm] (a_n(x_0)) [/mm] mit
$f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(x_0)(x-x_0)^n$ [/mm] für $x [mm] \in (x_{0}-r(x_0), x_{0}+r(x_0)) [/mm] $.
Setze [mm] $K(x_0):=\{z \in \IC: |z-x_0|
Ist dann $z [mm] \in [/mm] U$ , so setze
$ [mm] F(z):=\summe_{n=0}^{\infty}a_n(x_0)(z-x_0)^n$ [/mm]
Zeige nun:
F ist wohldefiniert, F ist auf U holomorph und $ [mm] F|_{\IR}=f. [/mm] $
>
> Zu 2) Wie komme ich auf mein F? Mit F ist hier nicht die
> Stammfunktion gemeint oder?
Nein. Wie wärs mit
$ [mm] F(z)=\bruch{1}{1+z^{2}} [/mm] $
?
FRED
>
> Beste Grüße
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